Represente a épura da reta r, definida pelos pontos A(-4,5,-5) e B(6,0,5) e julgue se os seguintes pontos pertencem ou não a ela:
C(4, 1, 3)

Passo 1

O enunciado pede a épura (equação paramétrica) da reta r que passa por A(-4,5,-5) e B(6,0,5), e depois verificar se o ponto C(4,1,3) pertence a essa reta. Vamos usar o conceito de vetor diretor obtido de \overrightarrow{AB} e, em seguida, verificar se existe parâmetro t que leve a parametrização até C.

Passo 2

O vetor diretor de r é
\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(6-(-4),\,0-5,\,5-(-5))=(10,\,-5,\,10).
Podemos simplificar \vec{u} por 5, obtendo (2,-1,2). Logo, uma épura de r é
\begin{cases} x=-4+2t,\\\ y=5 - t,\\\ z=-5+2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para ver se C(4,1,3)\) está em \(r\), igualamos coordenadas: \[\begin{cases} -4+2t=4,\\\\ 5 - t=1,\\\\ -5+2t=3. \end{cases}
Da primeira equação vem 2t=8\] e, portanto, \(t=4. Substituindo em 5-t 5-4=1, e em -5+2t -5+8=3. Como todas as coordenadas conferem com t=4, o ponto C pertence a r.

Resposta

O ponto C(4,1,3) pertence à reta r.

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