Questão 2: Resolva a EDO de segunda ordem homogênea, com condições iniciais.
y^{\prime \prime}+16 y=0, \quad y(\pi / 4)=-3, \quad y^{\prime}(\pi / 4)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 16\,y = 0
sujeita às condições iniciais
y\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = -3, \quad y'\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = 4.
O conteúdo envolvido é a solução geral de EDO lineares homogêneas com equação característica, seguida de ajuste das constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 16 = 0.
As raízes são
r = \pm 4\,i.
Logo a solução geral é
y(x) = C_{1}\cos(4x) + C_{2}\sin(4x).

Passo 3

Calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = -4\,C_{1}\sin(4x) + 4\,C_{2}\cos(4x).

Passo 4

Impondo x = \tfrac\pi4:
\cos\bigl(4\cdot\tfrac\pi4\bigr)=\cos(\pi)=-1, \quad \sin\bigl(4\cdot\tfrac\pi4\bigr)=\sin(\pi)=0.
Da condição y(\tfrac\pi4)=-3:
C_{1}\,(-1) + C_{2}\,0 = -3 \;\Longrightarrow\; C_{1}=3.
Da condição y'(\tfrac\pi4)=4:
-4\,C_{1}\,0 + 4\,C_{2}\,(-1) = 4 \;\Longrightarrow\; -4\,C_{2}=4 \;\Longrightarrow\; C_{2}=-1.

Passo 5

Substituindo C_{1}=3 e C_{2}=-1 na solução geral, obtemos
y(x) = 3\cos(4x) - \sin(4x).

Resposta

y(x) = 3\cos(4x) - \sin(4x).

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