Questão 1: Resolva a equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea.
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-2 \frac{d y}{d t}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} - 2\,\frac{dy}{dt} - y = 0.
O conteúdo é equações diferenciais de coeficientes constantes, e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos solução da forma y(t)=e^{r t}. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica
r^{2} - 2r - 1 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}.

Passo 4

Como as raízes r_{1}=1+\sqrt{2} e r_{2}=1-\sqrt{2} são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C_{1}\,e^{(1+\sqrt{2})\,t} + C_{2}\,e^{(1-\sqrt{2})\,t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(t) = C_{1}\,e^{(1+\sqrt{2})\,t} + C_{2}\,e^{(1-\sqrt{2})\,t}.

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