Questão 3: Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando o método dos coeficientes indeterminados. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo da forma
. Iremos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois propor um palpite para a parte particular e, por fim, determinar as constantes pelas condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
O polinômio característico é
com raízes
e
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, fazemos o palpite
já que
não é solução da homogênea. Derivando, obtemos
Substituindo em
, vem
Comparando coeficientes de
e de
, temos
Assim,
Passo 4
A solução geral da equação completa é
Passo 5
Usamos
. Como
,
Agora calculamos
. Derivando a expressão geral,
Em
, isso vale
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