Questão 3: Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminado.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x e^{x}, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y' = x e^x,
com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1, usando o método dos coeficientes indeterminados. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo da forma P_1(x)e^{\alpha x}. Iremos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois propor um palpite para a parte particular e, por fim, determinar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y' = 0.
O polinômio característico é
r^2 + r = r(r+1)=0
com raízes r=0 e r=-1. Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é x e^x, fazemos o palpite
y_p = (Ax + B)e^x,
já que e^x não é solução da homogênea. Derivando, obtemos
y_p' = A x e^x + (A + B)e^x,
y_p'' = A x e^x + (2A + B)e^x.
Substituindo em y''+y' = x e^x, vem
y_p'' + y_p' = 2A\,x e^x + (3A + 2B)e^x \overset{!}{=} x e^x.
Comparando coeficientes de x e^x e de e^x, temos
2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = \tfrac12,
3A + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\!\bigl(\tfrac12\bigr) + 2B=0 \;\Rightarrow\; B=-\tfrac34.
Assim,
y_p = \bigl(\tfrac12 x - \tfrac34\bigr)e^x.

Passo 4

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{-x} + \bigl(\tfrac12 x - \tfrac34\bigr)e^x.

Passo 5

Usamos y(0)=2. Como e^0=1,
y(0)=C_1 + C_2 + \bigl(0 - \tfrac34\bigr)\cdot1 = C_1 + C_2 - \tfrac34 = 2 \;\Rightarrow\; C_1 + C_2 = \tfrac{11}{4}.
Agora calculamos y'(x). Derivando a expressão geral,
y'(x) = -C_2 e^{-x} + \bigl(\tfrac12 x e^x - \tfrac14 e^x\bigr).
Em x=0, isso vale
y'(0) = -C_2 + \bigl(0 - \tfrac14\bigr) = -C_2 - \tfrac14 = 1 \;\Rightarrow\; -C_2 = \tfrac54 \;\Rightarrow\; C_2 = -\tfrac54.
Logo
C_1 = \tfrac{11}{4} - C_2 = \tfrac{11}{4} + \tfrac{5}{4} = 4.

Resposta

\boxed{y(x) = 4 - \tfrac{5}{4}\,e^{-x} + \bigl(\tfrac12 x - \tfrac34\bigr)e^x.}

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