Questão 8. Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma
e
:
Passo 1
O problema é a equação do calor em toda reta, com condição inicial dada por
O conteúdo aqui é a solução da equação do calor no domínio
usando o núcleo fundamental (solução de Gauss) e convolução com a condição inicial.
Passo 2
A solução geral no caso de toda a reta é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental da equação do calor:
Logo,
Passo 3
Para avaliar essa integral, separamos em duas partes ao redor de
:
Passo 4
Cada uma dessas integrais é do tipo
que se resolve pelo uso da fórmula
Aqui
e
.
Passo 5
Após aplicar a fórmula e simplificar os fatores exponenciais e o coeficiente front, obtemos a forma em termos da função erro complementar
: