Questão 8. Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty< x<\infty e t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=e^{-|x|}\end{array}\right.

Passo 1

O problema é a equação do calor em toda reta, com condição inicial dada por
u_{t} = u_{xx},\quad -\infty<x<\infty,\;t>0,
u(x,0)=e^{-|x|}.
O conteúdo aqui é a solução da equação do calor no domínio \mathbb{R} usando o núcleo fundamental (solução de Gauss) e convolução com a condição inicial.

Passo 2

A solução geral no caso de toda a reta é dada pela convolução da condição inicial com o núcleo fundamental da equação do calor:
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\,t}}\exp\Bigl(-\frac{x^{2}}{4t}\Bigr).
Logo,
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,u(y,0)\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi\,t}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\Bigl(-\frac{(x-y)^{2}}{4t}\Bigr)e^{-|y|}\,dy.

Passo 3

Para avaliar essa integral, separamos em duas partes ao redor de y=0:
u(x,t) =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\Bigl[\int_{-\infty}^{0} e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}}e^{y}\,dy +\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{(x-y)^{2}}{4t}}e^{-y}\,dy\Bigr].

Passo 4

Cada uma dessas integrais é do tipo
\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{(x\mp s)^{2}}{4t}}e^{-s}\,ds,
que se resolve pelo uso da fórmula
\int_{0}^{\infty}e^{-a\,s^{2}+b\,s}\,ds =\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}} \exp\!\Bigl(\frac{b^{2}}{4a}\Bigr)\Bigl[1+\erf\!\bigl(\tfrac{b}{2\sqrt{a}}\bigr)\Bigr], \quad a>0.
Aqui a=\tfrac1{4t} e b=\pm\frac{x}{2t}-1.

Passo 5

Após aplicar a fórmula e simplificar os fatores exponenciais e o coeficiente front, obtemos a forma em termos da função erro complementar \erfc(z)=1-\erf(z):
u(x,t) =\tfrac12\,e^{\,t -x}\,\erfc\!\Bigl(\sqrt{t}-\tfrac{x}{2\sqrt{t}}\Bigr) +\tfrac12\,e^{\,t +x}\,\erfc\!\Bigl(\sqrt{t}+\tfrac{x}{2\sqrt{t}}\Bigr).

Resposta

\boxed{% u(x,t) =\frac12\,e^{\,t -x}\,\erfc\!\Bigl(\sqrt{t}-\frac{x}{2\sqrt{t}}\Bigr) +\frac12\,e^{\,t +x}\,\erfc\!\Bigl(\sqrt{t}+\frac{x}{2\sqrt{t}}\Bigr). }

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