Questão 8. Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty< x<\infty e t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=e^{-x^{2}}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação do calor
u_{t} = u_{xx},\quad -\infty<x<\infty,\\ t>0
com condição inicial
u(x,0)=e^{-x^2}.
O método clássico para a linha real é usar a convolução da condição inicial com o núcleo fundamental da equação do calor.

Passo 2

O núcleo fundamental (ou solução fundamental) da equação do calor em \mathbb{R} é
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4t}\bigr).
Logo a solução geral é
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,e^{-y^2}\,dy =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{4t}-y^2\Bigr)\,dy.

Passo 3

Para calcular a integral gaussiana
I=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\!\Bigl(-\frac{(x-y)^2}{4t}-y^2\Bigr)\,dy
combinamos os quadrados no expoente e completamos o quadrado em y. O resultado padrão é
I=\sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}\, \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{1+4t}\Bigr).

Passo 4

Substituindo em u(x,t)=\tfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,I obtemos
u(x,t) =\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\, \sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}\, \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{1+4t}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{1+4t}} \exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{1+4t}\Bigr).

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}\exp\!\Bigl(-\frac{x^2}{1+4t}\Bigr).

Exercícios relacionados