Questão 8. Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -\infty< x<\infty e t>0 :
\left\{\begin{array}{l}u_{t t}=u_{x x} \\\ u(x, 0)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{x} \\\ u_{t}(x, 0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda em toda a reta,
u_{tt}=u_{xx},
com as condições iniciais
u(x,0)=f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\frac{\sin x}{x}, \quad u_{t}(x,0)=g(x)=0.
Este é um problema clássico de valor inicial para a onda em que usaremos a fórmula de d’Alembert.

Passo 2

A fórmula de d’Alembert para a equação
u_{tt}=c^{2}\,u_{xx}
no caso c=1 e em -\infty<x<\infty é
u(x,t) =\frac{f(x-t)+f(x+t)}{2} +\frac{1}{2}\int_{x-t}^{\,x+t}g(s)\,ds.
Como aqui g(x)=0, a integral some e sobra apenas a média dos deslocamentos.

Passo 3

Substituindo f(x)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\tfrac{\sin x}{x} e g\equiv0 em d’Alembert, obtemos
u(x,t) =\frac{1}{2}\,f(x-t) +\frac{1}{2}\,f(x+t) =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\sin(x-t)}{x-t} +\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\, \frac{\sin(x+t)}{x+t}.

Passo 4

Fatorando \sqrt{\tfrac{2}{\pi}}/2, a solução final fica
u(x,t) =\sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\frac{1}{2} \Bigl(\frac{\sin(x-t)}{x-t}+\frac{\sin(x+t)}{x+t}\Bigr).

Resposta

u(x,t) =\frac{\sqrt{2/\pi}}{2}\,\biggl(\frac{\sin(x-t)}{x-t}+\frac{\sin(x+t)}{x+t}\biggr).

Exercícios relacionados