Questão 1: Resolva as equações diferencias abaixo. OBS.: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução. Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
y^{\prime}=\frac{y+x}{y-x}, y(0)=2.

Passo 1

Método escolhido: Substituição para equação homogênea (usar y=ux, ou seja, u=\dfrac{y}{x}).\n
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'=\frac{y+x}{y-x},\qquad y(0)=2.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaça a condição inicial.

Passo 2

Por que usar a substituição y=ux? Vou explicar devagarinho. A função do lado direito depende só da razão y/x:
\frac{y+x}{y-x}=\frac{\dfrac{y}{x}+1}{\dfrac{y}{x}-1}.
Quando a função do lado direito é função de y/x apenas, a equação é dita homogênea de grau zero e a substituição y=ux transforma numa equação para u(x) que costuma ser separável. Então definimos
u=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=ux.

Passo 3

Calcular y' em função de u e u'. Como y=ux,
y' = \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Agora substituímos y e y' na equação original:
u + x\frac{du}{dx} = \frac{u x + x}{u x - x} = \frac{u+1}{u-1}.

Passo 4

Isolar x\frac{du}{dx} e simplificar a expressão. Subtraindo u dos dois lados:
x\frac{du}{dx} = \frac{u+1}{u-1} - u.
Coloco em uma única fração:
\frac{u+1}{u-1} - u = \frac{u+1 - u(u-1)}{u-1} = \frac{-u^2 +2u +1}{u-1}.
Podemos dividir o polinômio ou reescrever para facilitar a separação; observe que é conveniente fazer a substituição v=u-1 depois. Antes, reescrevo a razão como
x\frac{du}{dx} = \frac{-u^2 +2u +1}{u-1}.

Passo 5

Fazer a mudança v=u-1 para simplificar a integral. Note que dv=du e u=v+1. Reescrevendo a fração:
\frac{-u^2 +2u +1}{u-1} = \frac{-(v+1)^2 +2(v+1) +1}{v} = \frac{-(v^2+2v+1) +2v+2 +1}{v}
= \frac{-v^2 -2v -1 +2v +3}{v} = \frac{-v^2 +2}{v} = \frac{2 - v^2}{v}.
Portanto a equação para v fica
x\frac{dv}{dx} = \frac{2 - v^2}{v}.
Agora separo variáveis:
\frac{v}{2 - v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados. À esquerda use a substituição implícita w=2-v^2 ou note que a derivada de 2-v^2 é -2v. Assim
\int \frac{v}{2 - v^2}\,dv = -\frac{1}{2}\int \frac{d(2-v^2)}{2-v^2} = -\frac{1}{2}\ln\bigl|2-v^2\bigr| + C.
À direita,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.
Juntando constantes (chamo C a constante geral), obtemos
-\frac{1}{2}\ln\bigl|2-v^2\bigr| = \ln|x| + C.
Multiplicando por -2,
\ln\bigl|2-v^2\bigr| = -2\ln|x| + C_1 = \ln\!\bigl(C_2 x^{-2}\bigr),
onde C_2=e^{C_1} é uma constante positiva/negativa conforme necessário. Assim podemos escrever
2 - v^2 = \frac{C}{x^2},
com C constante arbitrária.

Passo 7

Voltar às variáveis originais. Lembrando v=u-1 e u=\dfrac{y}{x}, temos
2 - (u-1)^2 = \frac{C}{x^2}.
Rearranjando,
(u-1)^2 = 2 - \frac{C}{x^2}.
Multiplicando por x^2:
(y - x)^2 = 2x^2 - C.
Chamando C_3 = -C (ou mantendo C), a forma mais direta é
(y-x)^2 = 2x^2 + 4_0,
mas vamos determinar a constante usando a condição inicial.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(0)=2. Em x=0 a expressão (y-x)^2 = 2x^2 - C
(2-0)^2 = 0 - C \quad\Rightarrow\quad 4 = -C \quad\Rightarrow\quad C = -4.
Substituindo C=-4 em (y-x)^2 = 2x^2 - C obtemos
(y-x)^2 = 2x^2 - (-4) = 2x^2 + 4.

Passo 9

Resolver para y. Tomando raiz quadrada dos dois lados,
y - x = \pm\sqrt{2x^2 + 4} = \pm\sqrt{2}\sqrt{x^2 + 2}.
Para escolher o sinal: em x=0 deve valer y(0)-0=2. Isso corresponde ao sinal positivo porque \sqrt{2\cdot0^2+4}=2. Portanto escolhemos o sinal +. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x) = x + \sqrt{2x^2 + 4}.
Verificação rápida: com essa escolha y-x>0 para todo x, então o denominador da equação original nunca zera e a solução é regular.

Resposta

y(x)=x+\sqrt{2x^{2}+4}.

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