Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular. y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y(-1)=-12 ; \quad y^{\prime}(-1)=1
Passo 1
O enunciado dá a EDO linear homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral e a solução particular do PVI. Informações fornecidas:
Equação: y''+4y'+4y=0.
Condições iniciais: y(-1)=-12 e y'(-1)=1.
Perguntas que devemos responder:
Encontrar a solução geral da EDO homogênea.
Usando as condições iniciais, determinar a solução particular do problema de valor inicial.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes da forma
y''+a y'+b y=0,
procura-se uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação obtém-se o polinômio característico
r^2 + a r + b = 0.
As raízes r desse polinômio determinam as soluções básicas:
Se as raízes r_1 e r_2 forem distintas reais, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Se houver uma raiz real dupla r (ou seja, multiplicidade 2), a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão ajustadas pelas condições iniciais. Vamos aplicar esse procedimento à equação dada.
Passo 3
Formamos o polinômio característico da equação y''+4y'+4y=0:
r^2 + 4r + 4 = 0.
Fatorando,
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2.
Logo existe uma raiz real dupla
r=-2.
Passo 4
Pelo caso da raiz dupla, a solução geral da EDO é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro escrevemos y(x) e y'(x).