Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 ; \quad y(-1)=-12 ; \quad y^{\prime}(-1)=1

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear homogênea com coeficientes constantes e pede a solução geral e a solução particular do PVI. Informações fornecidas:
  • Equação: y''+4y'+4y=0.
  • Condições iniciais: y(-1)=-12 e y'(-1)=1.
Perguntas que devemos responder:
  1. Encontrar a solução geral da EDO homogênea.
  2. Usando as condições iniciais, determinar a solução particular do problema de valor inicial.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes da forma
y''+a y'+b y=0,
procura-se uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação obtém-se o polinômio característico
r^2 + a r + b = 0.
As raízes r desse polinômio determinam as soluções básicas:
  • Se as raízes r_1 e r_2 forem distintas reais, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
  • Se houver uma raiz real dupla r (ou seja, multiplicidade 2), a solução geral é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x}.
Aqui C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão ajustadas pelas condições iniciais. Vamos aplicar esse procedimento à equação dada.

Passo 3

Formamos o polinômio característico da equação y''+4y'+4y=0:
r^2 + 4r + 4 = 0.
Fatorando,
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2.
Logo existe uma raiz real dupla
r=-2.

Passo 4

Pelo caso da raiz dupla, a solução geral da EDO é
y(x) = \big(C_1 + C_2 x\big) e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2. Primeiro escrevemos y(x) e y'(x).
Temos
y(x)=\big(C_1 + C_2 x\big) e^{-2x}.
Calculando a derivada por produto:
y'(x)=C_2 e^{-2x} + \big(C_1 + C_2 x\big)(-2)e^{-2x}.
Agrupando termos dentro do colchete:
y'(x)=\big(C_2 -2C_1 -2C_2 x\big)e^{-2x}.

Passo 6

Aplicamos as condições em x=-1.
Para y(-1)=-12:
y(-1)=\big(C_1 + C_2(-1)\big) e^{-2(-1)} = \big(C_1 - C_2\big) e^{2} = -12.
Dividindo por e^{2}:
C_1 - C_2 = -12 e^{-2}. \tag{1}
Para y'(-1)=1:
y'(-1)=\big(C_2 -2C_1 -2C_2(-1)\big)e^{2} = \big(3C_2 -2C_1\big)e^{2} = 1.
Dividindo por e^{2}:
-2C_1 + 3C_2 = e^{-2}. \tag{2}

Passo 7

Resolvendo o sistema linear formado por (1) e (2). Da equação (1) isolamos C_1:
C_1 = C_2 -12 e^{-2}.
Substituindo em (2):
-2(C_2 -12 e^{-2}) + 3C_2 = e^{-2}.
Desenvolvendo:
-2C_2 + 24 e^{-2} + 3C_2 = e^{-2},
C_2 + 24 e^{-2} = e^{-2},
C_2 = e^{-2} - 24 e^{-2} = -23 e^{-2}.
Agora C_1 = C_2 -12 e^{-2} = -23 e^{-2} -12 e^{-2} = -35 e^{-2}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=\big(-35 e^{-2} + (-23 e^{-2}) x\big)e^{-2x}.
Fatorando e^{-2} e simplificando o expoente:
y(x)=-(35+23x)\,e^{-2(x+1)}.
Pode-se verificar rapidamente que y(-1)=-12 e y'(-1)=1, confirmando a solução.

Resposta

y(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{-2x}
y(x)=-(35+23x)\,e^{-2(x+1)}

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