Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária não-homogênea com condições iniciais (PVI):
Informações dadas:
- A equação é linear, de coeficientes constantes, segunda ordem.
- O termo forçante é
. - Há duas condições iniciais em
: e .
O que se pede: - Determinar a solução geral da EDO (ou seja,
contendo constantes arbitrárias). - Usar as condições iniciais para obter a solução particular do PVI.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): para uma EDO linear do tipo
a solução geral é soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular:
Vou primeiro achar
resolvendo a equação homogênea
usando a equação característica; depois encontro
por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Uma observação importante: se a forma da força coincide com uma solução da homogênea (ressonância), há que multiplicar o palpite por
. Vou explicar isso quando chegar no palpite para
.
Passo 3
Solução da homogênea: escrever a equação característica associada à homogênea
Resolvendo,
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é combinação linear de
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação: raízes
geram
; aqui
.)
Passo 4
Escolha do palpite para
(método dos coeficientes indeterminados) e razão de multiplicar por
:
- O termo forçante é
. Normalmente, para uma forçante do tipo tenta-se um palpite . - Contudo, essa forma coincide com a solução homogênea (já temos
e em ). Isso é a situação de ressonância: o palpite precisa ser multiplicado por para obter independência linear. Portanto escolhemos
onde
e
são constantes a determinar. (Explicação: multiplicar por
dá funções linearmente independentes das da homogênea.)
Passo 5
Calcular
e
passo a passo para substituir na EDO.
Começando com
Derivando por produto:
Derivando novamente: primeiro derivada do primeiro termo
é
. Depois derivada do segundo termo (produto
) é o próprio parêntese mais
vezes a derivada do parêntese. Assim
Somando os dois primeiros termos:
Passo 6
Agora formar
e observar o cancelamento dos termos com
:
Escrevendo
Agrupando os termos que multiplicam
:
portanto os termos com
se cancelam. Fica então
Esse resultado deve ser igual à força da equação, que é
. Assim impomos
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema:
Logo
Portanto
Passo 7
Escrever a solução geral combinando homogênea e particular:
A solução geral é
ou seja
Agora usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Calcular
da solução geral e aplicar as condições.
Derivando a expressão geral:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Para o termo
já usamos a fórmula geral do passo 5 com e ; então sua derivada é
(Explicação rápida: produto
dá
, multiplicado por
produz os termos acima.)
Somando tudo:
Avaliar em
:
-
, , e o termo com anula-se. Então
(porque
), e
Da segunda equação vem