Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^{\prime \prime}+4 y=3 \operatorname{sen}(2 t) ; \quad y(0)=2 ; \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária não-homogênea com condições iniciais (PVI):
y'' + 4y = 3\sin(2t),\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de coeficientes constantes, segunda ordem.
  • O termo forçante é 3\sin(2t).
  • Há duas condições iniciais em t=0: y(0)=2 e y'(0)=0.
    O que se pede:
  • Determinar a solução geral da EDO (ou seja, y(t) contendo constantes arbitrárias).
  • Usar as condições iniciais para obter a solução particular do PVI.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): para uma EDO linear do tipo
y''+4y = \text{(força)} ,ç
a solução geral é soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Vou primeiro achar y_h resolvendo a equação homogênea
y''+4y=0,
usando a equação característica; depois encontro y_p por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Uma observação importante: se a forma da força coincide com uma solução da homogênea (ressonância), há que multiplicar o palpite por t. Vou explicar isso quando chegar no palpite para y_p.

Passo 3

Solução da homogênea: escrever a equação característica associada à homogênea
r^2+4=0.
Resolvendo,
r^2=-4\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas 0\pm 2i, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos(2t) e \sin(2t):
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Breve explicação: raízes a\pm bi geram e^{at}(\cos bt,\sin bt); aqui a=0,b=2.)

Passo 4

Escolha do palpite para y_p (método dos coeficientes indeterminados) e razão de multiplicar por t:
  • O termo forçante é 3\sin(2t). Normalmente, para uma forçante do tipo A\cos(2t)+B\sin(2t) tenta-se um palpite y_p = a\cos(2t)+b\sin(2t).
  • Contudo, essa forma coincide com a solução homogênea (já temos \cos(2t) e \sin(2t) em y_h). Isso é a situação de ressonância: o palpite precisa ser multiplicado por t para obter independência linear. Portanto escolhemos
y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar. (Explicação: multiplicar por t dá funções linearmente independentes das da homogênea.)

Passo 5

Calcular y_p' e y_p'' passo a passo para substituir na EDO.
Começando com
y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Derivando por produto:
y_p'(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+t\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr).
Derivando novamente: primeiro derivada do primeiro termo A\cos(2t)+B\sin(2t) é -2A\sin(2t)+2B\cos(2t). Depois derivada do segundo termo (produto t\cdot(\cdots)) é o próprio parêntese mais t vezes a derivada do parêntese. Assim
y_p''(t)=\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr) +\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr) +t\bigl(-4B\sin(2t)-4A\cos(2t)\bigr).
Somando os dois primeiros termos:
y_p''(t)=\bigl(-4A\sin(2t)+4B\cos(2t)\bigr)+t\bigl(-4B\sin(2t)-4A\cos(2t)\bigr).

Passo 6

Agora formar y_p''+4y_p e observar o cancelamento dos termos com t:
Escrevendo
y_p''(t)+4y_p(t)=\bigl(-4A\sin(2t)+4B\cos(2t)\bigr) +t\bigl(-4B\sin(2t)-4A\cos(2t)\bigr) +4t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Agrupando os termos que multiplicam t:
t\bigl((-4B+4B)\sin(2t)+(-4A+4A)\cos(2t)\bigr)=0,
portanto os termos com t se cancelam. Fica então
y_p''(t)+4y_p(t)=-4A\sin(2t)+4B\cos(2t).
Esse resultado deve ser igual à força da equação, que é 3\sin(2t). Assim impomos
-4A\sin(2t)+4B\cos(2t)=3\sin(2t)+0\cos(2t).
Igualando coeficientes de \sin(2t) e \cos(2t) obtemos o sistema:
-4A=3,\qquad 4B=0.
Logo
A=-\frac{3}{4},\qquad B=0.
Portanto
y_p(t)=t\Bigl(-\frac{3}{4}\cos(2t)+0\cdot\sin(2t)\Bigr)=-\frac{3}{4}\,t\cos(2t).

Passo 7

Escrever a solução geral combinando homogênea e particular:
A solução geral é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+y_p(t)
ou seja
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\frac{3}{4}\,t\cos(2t).
Agora usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 8

Calcular y'(t) da solução geral e aplicar as condições.
Derivando a expressão geral:
  • Derivada de C_1\cos(2t) é -2C_1\sin(2t).
  • Derivada de C_2\sin(2t) é 2C_2\cos(2t).
  • Para o termo -\dfrac{3}{4}t\cos(2t) já usamos a fórmula geral do passo 5 com A=-\dfrac{3}{4} e B=0; então sua derivada é
\left(-\frac{3}{4}t\cos(2t)\right)'=-\frac{3}{4}\cos(2t)+\frac{3}{2}t\sin(2t).
(Explicação rápida: produto t\cdot\cos(2t) \cos(2t)+t(-2\sin(2t)), multiplicado por -\tfrac{3}{4} produz os termos acima.)
Somando tudo:
y'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)-\frac{3}{4}\cos(2t)+\frac{3}{2}t\sin(2t).
Avaliar em t=0:
  • \sin(0)=0, \cos(0)=1, e o termo com t anula-se. Então
y(0)=C_1=2
(porque y(0)=C_1+0-0), e
y'(0)=2C_2-\frac{3}{4}=0.
Da segunda equação vem
2C_2=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{3}{8}.

Resposta

y(t)=2\cos(2t)+\frac{3}{8}\sin(2t)-\frac{3}{4}\,t\cos(2t).

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