Questão 8. Resolva as equações lineares e homogêneas de segunda ordem abaixo:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear, homogênea e de coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 0
O método clássico é assumir uma solução do tipo y = e^rx e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y''=r^2 e^rx
Substituindo em y'' - 5y' + 6y=0, obtemos a equação para r:
r^2 e^rx - 5r e^rx + 6 e^rx = 0 ;;Longrightarrow;; r^2 - 5r + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - 5r + 6 = 0,
usamos fatoração ou a fórmula de Bhaskara. Pela fatoração,
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0
logo as raízes são
r1 = 2, r2 = 3

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^2x + C2 e^3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^3x

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