Questão 8. Resolva as equações lineares e homogêneas de segunda ordem abaixo:
4 y^prime prime+12 y^prime+25 y=0

Passo 1

Tranquilo, aqui temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
4,y'' + 12,y' + 25,y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica, supondo soluções da forma y=e^r x.

Passo 2

Substituindo y=e^r x nas derivadas, obtemos
y' = r,e^r x, y'' = r^2,e^r x,
e, dividindo por e^r xneq0, chega-se à equação característica em r:
4,r^2 + 12,r + 25 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = 12^2 - 4cdot4cdot25 = 144 - 400 = -256
Como De<a<0, as raízes são complexas:
r = -12 pm raiz-2562cdot4 = -12 pm 16,i8 = -tfrac32 pm 2,i

Passo 4

Para raízes r = alpha pm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Aqui alpha=-tfrac32 e beta=2.

Resposta

y(x) = e^-tfrac32xl(C1cos(2x) + C2sin(2x)r)

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