Questão 8. Resolva as equações lineares e homogêneas de segunda ordem abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
Este é um caso de equação com ponto-singular regular em
. Vamos usar a técnica de séries de potências centrada em
(que é um ponto ordinário) para obter a solução geral em forma de série.
Passo 2
Suponha uma solução em série
Então
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Alinhe as potências de
. Escrevendo
e
muda-se o índice para ter tudo como
. O coeficiente de
deve ser zero para todo
.
Passo 4
O primeiro caso é
. Da equação de coeficientes surge
Para
a condição é
ou seja a relação de recorrência
Passo 5
Como a equação é de segunda ordem, há duas constantes livres, digamos
e
. A partir delas usamos
para gerar a série até a ordem que desejar.
Resposta
A solução geral, em série de potências centrada em
, é
onde os coeficientes
satisfazem a relação de recorrência
com as condições iniciais
para a primeira série e
para a segunda. Estas duas séries formam a base de soluções da equação.