Questão 8. Resolva as equações lineares e homogêneas de segunda ordem abaixo:
(t^2-1) y^prime prime+(t-2) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
(t^2-1),y'' ;+; (t-2),y ;=; 0
Este é um caso de equação com ponto-singular regular em t=pm1. Vamos usar a técnica de séries de potências centrada em t=0 (que é um ponto ordinário) para obter a solução geral em forma de série.

Passo 2

Suponha uma solução em série
y(t);=;sumn=0^inftyan,t^n
Então
y''(t);=;sumn=2^inftyn(n-1),an,t^,n-2
Substituindo em (t^2-1)y''+(t-2)y=0 obtemos
(t^2-1)sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2 ;+;(t-2)sumn=0^infty an t^n ;=;0

Passo 3

Alinhe as potências de t. Escrevendo
(t^2-1)y''=sumn=2^infty n(n-1)an t^n ;-;sumn=2^infty n(n-1)an t^n-2,
e
(t-2)y=sumn=0^infty an t^n+1;-;2sumn=0^infty an t^n,
muda-se o índice para ter tudo como sumk=0^infty(cdots)t^k. O coeficiente de t^k deve ser zero para todo k.

Passo 4

O primeiro caso é k=0. Da equação de coeficientes surge
-2,a0 ;-;2,a2 ;=;0 ;;Longrightarrow;; a2 ;=;-,a0
Para k>=1 a condição é
l[k(k-1)-2r]ak ;-;(k+2)(k+1),ak+2 ;+;a,k-1 ;=;0
ou seja a relação de recorrência
ak+2 ;=; (k(k-1)-2),ak ;+;ak-1(k+2)(k+1) ;=; l((k+2)(k-1)r),ak ;+;ak-1(k+2)(k+1)

Passo 5

Como a equação é de segunda ordem, há duas constantes livres, digamos a0 e a1. A partir delas usamos
a2=-a0, a3=a06, a4=-4a0+a112,;dots
para gerar a série até a ordem que desejar.

Resposta

A solução geral, em série de potências centrada em t=0, é
boxed y(t) =;a0sumn=0^infty an^(1),t^n ;+; a1sumn=0^infty an^(2),t^n,
onde os coeficientes an^(1),,an^(2) satisfazem a relação de recorrência
a2=-a0, ak+2 =(k(k-1)-2),ak + ak-1(k+2)(k+1),
com as condições iniciais (a0,a1)=(1,0) para a primeira série e (a0,a1)=(0,1) para a segunda. Estas duas séries formam a base de soluções da equação.

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