Encontrar os valores de extremos locais das funções:
h(x, y)=2 x^3+y^3-3 x^2-3 y

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais de h(x,y)=2x^3+y^3-3x^2-3y. Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e em seguida o teste da Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial hpartial x=6x^2-6x,
partial hpartial y=3y^2-3
Igualando a zero, vem
6x(x-1)=0implies x=0 ou x=1,
3(y^2-1)=0implies y=pm1
Logo, os pontos críticos são (0,1), (0,-1), (1,1) e (1,-1).

Passo 3

A Hessiana de h é
hxx & hxy hyx & hyy = 12x-6 & 0 0 & 6y
O determinante vale
D = (12x-6)cdot(6y)
Para cada ponto crítico, calculamos hxx e D.

Passo 4

Em (0,1): hxx=-6, D=-36<0 to ponto de sela.
Em (0,-1): hxx=-6, D=36>0 e hxx<0 to máximo local.
Em (1,1): hxx=6, D=36>0 e hxx>0 to mínimo local.
Em (1,-1): hxx=6, D=-36<0 to ponto de sela.

Resposta

Máximo local em (0,-1).
Mínimo local em (1,1).
Pontos de sela em (0,1) e (1,-1).

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