Questão 1 Resolva as inequaçoẽs abaixo:
x^{2}<3

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade \,x^{2}<3\, e pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x e ela varia em \mathbb{R}.
  • A desigualdade é do tipo quadrático (há um termo em x^{2}).
  • Quer-se o conjunto de todos os x que tornam \,x^{2}<3\,.

Passo 2

Colocar a desigualdade em forma padrão, levando tudo para um lado:
x^{2}<3 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-3<0.
Explicando: é útil escrever como uma expressão do tipo “algo < 0” porque aí podemos estudar onde essa expressão é negativa.

Passo 3

Encontrar as raízes da equação associada \,x^{2}-3=0\,, pois elas dividem a reta real em intervalos onde o sinal da expressão pode mudar. Resolver:
x^{2}-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Explicando passo a passo: ao passar 3 para o outro lado obtemos x^{2}=3. Aplicando raiz quadrada em ambos os lados obtemos duas soluções, a positiva \sqrt{3} e a negativa -\sqrt{3}, porque tanto (\sqrt{3})^{2} quanto (-\sqrt{3})^{2} dão 3.

Passo 4

Fatorar a expressão usando as raízes encontradas:
x^{2}-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}).
Explicando: uma forma prática é reconhecer que x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a) com a=\sqrt{3}.

Passo 5

Usar análise de sinais do produto (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}). Para que o produto seja negativo, um fator deve ser positivo e o outro negativo. As possíveis posições de x na reta real são separadas pelas raízes -\sqrt{3} e \sqrt{3}, então consideramos três intervalos:
  1. (-\infty,-\sqrt{3})
  2. (-\sqrt{3},\sqrt{3})
  3. (\sqrt{3},\infty)

Passo 6

Testar um ponto em cada intervalo para saber o sinal de x^{2}-3:
  • Para (-\infty,-\sqrt{3}), escolha x=-2. Então x^{2}-3 = 4-3=1>0. Logo a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para (-\sqrt{3},\sqrt{3}), escolha x=0. Então x^{2}-3 = 0-3=-3<0. Logo a expressão é negativa nesse intervalo.
  • Para (\sqrt{3},\infty), escolha x=2. Então x^{2}-3 = 4-3=1>0. Logo a expressão é positiva nesse intervalo.
Explicando: os testes mostram que a expressão é negativa apenas no intervalo entre as duas raízes.

Passo 7

Tratar os extremos \pm\sqrt{3}: como a desigualdade é estrita ( <), os pontos onde x^{2}-3=0, isto é x=\pm\sqrt{3}, não pertencem à solução. Portanto os extremos são excluídos (intervalo aberto).

Passo 8

Conclusão: a solução da desigualdade \,x^{2}<3\, é o conjunto dos x estritamente entre -\sqrt{3} e \sqrt{3}. (Para referência numérica, \sqrt{3}\approx1{,}732, então a solução corresponde a todos x com -1{,}732\ldots<x<1{,}732\ldots.)

Resposta

\;(-\sqrt{3},\sqrt{3})

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