Questão 1 Resolva as inequaçoẽs abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade
e pede: encontrar todos os números reais
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
e ela varia em . - A desigualdade é do tipo quadrático (há um termo em
). - Quer-se o conjunto de todos os
que tornam .
Passo 2
Colocar a desigualdade em forma padrão, levando tudo para um lado:
Explicando: é útil escrever como uma expressão do tipo “algo < 0” porque aí podemos estudar onde essa expressão é negativa.
Passo 3
Encontrar as raízes da equação associada
, pois elas dividem a reta real em intervalos onde o sinal da expressão pode mudar. Resolver:
Explicando passo a passo: ao passar
para o outro lado obtemos
. Aplicando raiz quadrada em ambos os lados obtemos duas soluções, a positiva
e a negativa
, porque tanto
quanto
dão
.
Passo 4
Fatorar a expressão usando as raízes encontradas:
Explicando: uma forma prática é reconhecer que
com
.
Passo 5
Usar análise de sinais do produto
. Para que o produto seja negativo, um fator deve ser positivo e o outro negativo. As possíveis posições de
na reta real são separadas pelas raízes
e
, então consideramos três intervalos:
Passo 6
Testar um ponto em cada intervalo para saber o sinal de
:
- Para
, escolha . Então . Logo a expressão é positiva nesse intervalo. - Para
, escolha . Então . Logo a expressão é negativa nesse intervalo. - Para
, escolha . Então . Logo a expressão é positiva nesse intervalo.
Explicando: os testes mostram que a expressão é negativa apenas no intervalo entre as duas raízes.
Passo 7
Tratar os extremos
: como a desigualdade é estrita (
), os pontos onde
, isto é
, não pertencem à solução. Portanto os extremos são excluídos (intervalo aberto).
Passo 8
Conclusão: a solução da desigualdade
é o conjunto dos
estritamente entre
e
. (Para referência numérica,
, então a solução corresponde a todos
com
.)