(3,0 pontos) Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte PVI:
\begin{gathered} 2 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=t^{2} \\\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=4 t \\\ x(0)=2 ; \quad x^{\prime}(0)=0 ; \quad y(0)=-1 ; \quad y^{\prime}(0)=10 \end{gathered}

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) composto por duas equações de segunda ordem acopladas e as condições iniciais. Especificamente, temos:
\begin{cases} 2\,\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=t^{2},\\[6pt] \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}-\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}=4t, \end{cases}
com as condições iniciais
x(0)=2,\quad x'(0)=0,\quad y(0)=-1,\quad y'(0)=10.
A tarefa é encontrar explicitamente x(t) e y(t) usando a Transformada de Laplace.]

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que vou usar (tudo aqui é matemática, então uso TeX):
  • Definição (intuição rápida): a Transformada de Laplace de uma função f(t) é F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
  • Propriedades de derivadas (essenciais para PVI):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0), \qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0).
  • Transformadas de potências de t:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}\quad\text{(logo }\mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}},\\ \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}}\text{).}
Também vou usar \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n}\} = t^{\,n-1}/(n-1)! para inverter termos simples em s.

Passo 3

Denoto X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplico a transformada em cada equação, usando as condições iniciais x(0)=2,\\ x'(0)=0,\\ y(0)=-1,\\ y'(0)=10.
Para \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}:
\mathcal{L}\{x''\}=s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0)=s^{2}X-2s.
Para \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y-s y(0)-y'(0)=s^{2}Y+s-10.
Transformada do lado direito: \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3} e \mathcal{L}\{4t\}=4/s^{2}.
Agora transformo as equações originais:
2(s^{2}X-2s) + (s^{2}Y + s -10) = \dfrac{2}{s^{3}},
(s^{2}X-2s) - (s^{2}Y + s -10) = \dfrac{4}{s^{2}}.
Simplificando cada uma:
2s^{2}X + s^{2}Y -3s -10 = \dfrac{2}{s^{3}},
s^{2}X - s^{2}Y -3s +10 = \dfrac{4}{s^{2}}.
Reescrevendo as equações lineares em X e Y (passando os termos conhecidos para o lado direito):
2s^{2}X + s^{2}Y = \dfrac{2}{s^{3}} + 3s + 10,
s^{2}X - s^{2}Y = \dfrac{4}{s^{2}} + 3s - 10.

Passo 4

Vou resolver esse sistema linear em X e Y. Somando as duas equações para eliminar Y:
(2s^{2}X + s^{2}Y) + (s^{2}X - s^{2}Y) = \left(\dfrac{2}{s^{3}} + 3s + 10\right) + \left(\dfrac{4}{s^{2}} + 3s - 10\right).
O lado esquerdo vira 3s^{2}X. O lado direito simplifica:
3s^{2}X = \dfrac{2}{s^{3}} + \dfrac{4}{s^{2}} + 6s.
Logo
X(s)=\dfrac{1}{3s^{2}}\!\left(\dfrac{2}{s^{3}}+\dfrac{4}{s^{2}}+6s\right).
Distribuindo e simplificando cada termo:
X(s)=\dfrac{2}{3s^{5}}+\dfrac{4}{3s^{4}}+\dfrac{2}{s}.

Passo 5

Agora obtenho Y(s) a partir de uma das equações; uso a segunda:
s^{2}X - s^{2}Y = \dfrac{4}{s^{2}} + 3s - 10 \quad\Rightarrow\quad s^{2}Y = s^{2}X -\left(\dfrac{4}{s^{2}} + 3s - 10\right).
Dividindo por s^{2}:
Y(s)=X(s) - \left(\dfrac{4}{s^{4}} + \dfrac{3}{s} - \dfrac{10}{s^{2}}\right).
Substituo X(s)=\dfrac{2}{3s^{5}}+\dfrac{4}{3s^{4}}+\dfrac{2}{s}:
Y(s)=\dfrac{2}{3s^{5}}+\dfrac{4}{3s^{4}}+\dfrac{2}{s} -\dfrac{4}{s^{4}} -\dfrac{3}{s} +\dfrac{10}{s^{2}}.
Agrupando termos semelhantes:
Y(s)=\dfrac{2}{3s^{5}} -\dfrac{8}{3s^{4}} + \dfrac{10}{s^{2}} - \dfrac{1}{s}.

Passo 6

Agora invisto termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n}\}=t^{\,n-1}/(n-1)!.
Para X(s)=\dfrac{2}{3}s^{-5} + \dfrac{4}{3}s^{-4} + 2 s^{-1}:
  • \mathcal{L}^{-1}\{s^{-5}\} = \dfrac{t^{4}}{4!}=\dfrac{t^{4}}{24}, então \dfrac{2}{3}s^{-5} vira \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{t^{4}}{24}=\dfrac{t^{4}}{36}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{s^{-4}\} = \dfrac{t^{3}}{3!}=\dfrac{t^{3}}{6}, então \dfrac{4}{3}s^{-4} vira \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{t^{3}}{6}=\dfrac{2}{9}t^{3}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{s^{-1}\}=1, então 2s^{-1} vira 2.
Portanto
x(t)=\dfrac{t^{4}}{36}+\dfrac{2}{9}t^{3}+2.

Passo 7

Inverto Y(s)=\dfrac{2}{3}s^{-5}-\dfrac{8}{3}s^{-4}+10s^{-2}-s^{-1}:
  • \dfrac{2}{3}s^{-5} \dfrac{t^{4}}{36} (mesmo cálculo que em X).
  • -\dfrac{8}{3}s^{-4} -\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{t^{3}}{6}=-\dfrac{4}{9}t^{3}.
  • 10s^{-2} 10\cdot t.
  • -s^{-1} -1.
Assim
y(t)=\dfrac{t^{4}}{36}-\dfrac{4}{9}t^{3}+10t-1.

Passo 8

Checagem rápida (apenas para segurança): x(0)=2, x'(0)=0, y(0)=-1, y'(0)=10 são satisfeitas pelas funções encontradas (checar derivadas é direto). Também substituir x'' e y'' nas equações originais retorna t^{2} e 4t, então solução está consistente.

Resposta

x(t)=\dfrac{t^{4}}{36}+\dfrac{2}{9}t^{3}+2
y(t)=\dfrac{t^{4}}{36}-\dfrac{4}{9}t^{3}+10t-1

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