O problema pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) composto por duas equações de segunda ordem acopladas e as condições iniciais. Especificamente, temos:
Também vou usar \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n}\} = t^{\,n-1}/(n-1)! para inverter termos simples em s.
Passo 3
Denoto X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplico a transformada em cada equação, usando as condições iniciais x(0)=2,\\ x'(0)=0,\\ y(0)=-1,\\ y'(0)=10.
\dfrac{2}{3}s^{-5} dá \dfrac{t^{4}}{36} (mesmo cálculo que em X).
-\dfrac{8}{3}s^{-4} dá -\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{t^{3}}{6}=-\dfrac{4}{9}t^{3}.
10s^{-2} dá 10\cdot t.
-s^{-1} dá -1.
Assim
y(t)=\dfrac{t^{4}}{36}-\dfrac{4}{9}t^{3}+10t-1.
Passo 8
Checagem rápida (apenas para segurança): x(0)=2, x'(0)=0, y(0)=-1, y'(0)=10 são satisfeitas pelas funções encontradas (checar derivadas é direto). Também substituir x'' e y'' nas equações originais retorna t^{2} e 4t, então solução está consistente.