Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(8 x^{4}+4 x^{3}-6 x^{2}-4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada. Aqui está exatamente o que temos e o que se pede:
\int\left(8 x^{4}+4 x^{3}-6 x^{2}-4 x+5\right) dx
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser integrada é o polinômio 8 x^{4}+4 x^{3}-6 x^{2}-4 x+5.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração, geralmente escrita como C.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental para integrar potências de x: a chamada regra do expoente (power rule).
A regra diz:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{para } n\neq -1.
Aqui n é um número real que representa o expoente da potência de x. A razão dessa fórmula vem do fato de que, ao derivarmos \frac{x^{n+1}}{n+1}, obtemos x^n (verificação rápida: diferencie \frac{x^{n+1}}{n+1} e use a regra do poder na derivação).
Também precisamos da linearidade da integral:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\cdot\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Essas duas propriedades nos permitem integrar termo a termo um polinômio e puxar coeficientes para fora da integral.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma de integrais de cada termo:
\int\left(8 x^{4}+4 x^{3}-6 x^{2}-4 x+5\right) dx = \int 8 x^{4}\,dx + \int 4 x^{3}\,dx - \int 6 x^{2}\,dx - \int 4 x\,dx + \int 5\,dx.
Agora vamos integrar cada parcela usando a regra do expoente e a regra do fator constante.

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
  1. Para \int 8 x^{4}\,dx: aplicando \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} com n=4 e puxando 8 para fora,
\int 8 x^{4}\,dx = 8\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{8}{5}x^{5}.
  1. Para \int 4 x^{3}\,dx: com n=3,
\int 4 x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
  1. Para \int -6 x^{2}\,dx: com n=2,
\int -6 x^{2}\,dx = -6\cdot\frac{x^{3}}{3} = -2x^{3}.
  1. Para \int -4 x\,dx: aqui x é x^{1}, então n=1,
\int -4 x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.
  1. Para \int 5\,dx: constante 5 é como 5x^{0}, usando \int a\,dx = a x,
\int 5\,dx = 5x.

Passo 5

Agora somamos todas as antiderivadas obtidas e acrescentamos a constante de integração C:
\frac{8}{5}x^{5} + x^{4} - 2x^{3} - 2x^{2} + 5x + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado vemos se retornamos ao integrando original. Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{8}{5}x^{5}\right)=8x^{4},\quad \frac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3},\quad \frac{d}{dx}(-2x^{3})=-6x^{2},
\frac{d}{dx}(-2x^{2})=-4x,\quad \frac{d}{dx}(5x)=5,\quad \frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Somando dá exatamente 8x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-4x+5, que é o integrando. Então a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{5}x^{5}+x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+5x+C

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