Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
\int\left(3-2 x+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função dada. Mais precisamente, temos que encontrar uma primitiva (antiderivada) de
\int\left(3-2 x+x^{2}\right)\,d x.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é a soma de três termos: 3, -2x e x^{2}.
  • Queremos a integral indefinida (ou seja, a família de primitividades) — então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Fórmulas e propriedades que vamos usar (explicadas de forma simples):
  1. Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Ou seja,
\int\big(a(x)+b(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx
e
\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx,
onde k é constante. Isso permite integrar termo a termo.
2) Regra da potência (para polinômios): se n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número (expoente). Por exemplo, \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C e \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
3) Integração de constante: se k é constante,
\int k\,dx = kx + C.
Vou aplicar essas regras termo a termo no próximo passo.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma de integrais simples:
\int\left(3-2 x+x^{2}\right)\,d x = \int 3\,dx \;-\; \int 2x\,dx \;+\; \int x^{2}\,dx.
Agora calculamos cada uma separadamente.

Passo 4

Integrando o primeiro termo, que é uma constante:
\int 3\,dx = 3x.
Explicação rápida: pela regra da integral de constante, multiplicamos a constante por x.

Passo 5

Integrando o segundo termo, que é -2x:
Usamos a propriedade que fator constante sai da integral:
\int -2x\,dx = -2\int x\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
logo
-2\int x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.

Passo 6

Integrando o terceiro termo, que é x^{2}:
Aplicando a regra da potência com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Somando os resultados parciais e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva:
3x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C.
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando essa expressão deve voltar ao integrando. Derivada de 3x é 3, de -x^{2} é -2x e de \frac{x^{3}}{3} é x^{2}; somando dá 3-2x+x^{2}, que é a função original — então está correta.

Resposta

3x - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C

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