Questão 1: Resolva as integrais das funções elementares a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada (integral indefinida) da função dada. Aqui está exatamente o que temos e o que se pede:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a ser integrada é o polinômio
. - Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração, geralmente escrita como
.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra fundamental para integrar potências de
: a chamada regra do expoente (power rule).
A regra diz:
Aqui
é um número real que representa o expoente da potência de
. A razão dessa fórmula vem do fato de que, ao derivarmos
, obtemos
(verificação rápida: diferencie
e use a regra do poder na derivação).
Também precisamos da linearidade da integral:
e
onde
é constante. Essas duas propriedades nos permitem integrar termo a termo um polinômio e puxar coeficientes para fora da integral.
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevemos a integral como soma de integrais de cada termo:
Agora vamos integrar cada parcela usando a regra do expoente e a regra do fator constante.
Passo 4
Integramos cada termo separadamente:
- Para
: aplicando com e puxando para fora,
- Para
: com ,
- Para
: com ,
- Para
: aqui é , então ,
- Para
: constante é como , usando ,
Passo 5
Agora somamos todas as antiderivadas obtidas e acrescentamos a constante de integração
:
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado vemos se retornamos ao integrando original. Derivando termo a termo:
Somando dá exatamente
, que é o integrando. Então a antiderivada está correta.