Questão 4: Resolva as integrais por meio do Método das Frações Parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida)
Informações dadas e o que devemos obter:
- A função integranda é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O pedido é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda) usando o Método das Frações Parciais.
- Não há valores numéricos a determinar além da constante de integração
.
Passo 2
Verificar se a função racional é própria (condição para aplicar frações parciais diretamente):
Como
, a função é própria. Explicação didática: para decompor em frações parciais queremos que o grau do numerador seja menor que o do denominador; caso contrário faríamos divisão polinomial primeiro. Aqui não é preciso.
Passo 3
Fatorar o denominador para escolher a forma das frações parciais.
Calculemos as raízes de . O discriminante é
Calculemos as raízes de
As raízes são
ou seja
e
. Assim podemos fatorar
Comentário didático: quando o denominador tem fatores lineares distintos, a decomposição será uma soma de constantes sobre esses fatores lineares.
Passo 4
Montar a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Explicação: cada fator linear distinto
e
corresponde a um termo do tipo constante sobre o fator.
Passo 5
Determinar
Expandindo:
Igualando coeficientes dos termos em
e dos termos constantes:
Resolvendo: subtraindo a segunda equação da primeira vem
dá
Passo 6
Reescrevendo a integranda com os valores encontrados:
Explicação didática: a linearidade da integral permite separar a integral da soma em soma (ou diferença) de integrais.
Passo 7
Integrar cada termo separadamente.
- Para
, faça a substituição . Então , ou . Assim
- Para
, é direto: a primitiva de é , então
Observação didática: o fator constante pode ser tirado da integral; e a primitiva de
é
.
Passo 8
Juntando as primitivas parciais (lembre-se de preservar os sinais obtidos na decomposição) e acrescentando a constante de integração
. Neste passo eu expliquei como cada termo foi integrado separadamente; a combinação final fica na seção de resposta.