Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
- A função é
.\n - Para que
esteja definida precisamos de . Como para todo , isso equivale a .\n - Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Revisão das regras que vamos usar (explicadinha, devagarinho):\n
- Regra do logaritmo do produto:
. Aqui e são quaisquer números positivos.\n - Derivada do logaritmo composto (regra da cadeia para log): se
então . Nesse caso é a função dentro do e é a derivada de .\n - Derivada de
(para ) é .\n - Derivada de
é .\n - Regra do produto: se
então .\n
Vou aplicar essas regras com calma no próximo passo.
Passo 3
Método mais simples: usar a propriedade do logaritmo para simplificar antes de derivar.\n
Aplicando com
e
temos:
Aplicando
Agora use que
(porque
e
são funções inversas). Então
Derivando termo a termo (regra linear da derivada): a derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim
Se quiser, reescreve como
.
Passo 4
(Verificação alternativa — útil para a prova: usar regra da cadeia sem simplificar.)\n
Defina , então
e
.\n
Calcule usando a regra do produto:
\n
Substituindo em obtemos
Defina
Calcule
Substituindo em
confirmando o resultado anterior. Essa verificação mostra que tanto simplificar antes quanto aplicar a regra do log direto dão o mesmo resultado.
Passo 5
Observações finais e dica de prova:\n
- Lembre que a expressão final
só faz sentido para , pois precisamos do domínio do .\n - Em provas, simplificar logaritmos antes de derivar costuma ser mais rápido e reduz risco de erro; mas saber aplicar a regra da cadeia direto também é útil quando não dá para simplificar tão facilmente.\n
Você está indo bem — respira, lê com calma e aplica uma regra por vez!