Calcule as derivadas das funções:
y=\ln \left(x \mathrm{e}^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \;y=\ln\big(x\mathrm{e}^{x}\big).\n
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • A função é \;y=\ln\big(x\mathrm{e}^{x}\big).\n
  • Para que \ln(\cdot) esteja definida precisamos de \;x\mathrm{e}^{x}>0. Como \mathrm{e}^{x}>0 para todo x, isso equivale a \;x>0.\n
  • Objetivo: encontrar \;y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Revisão das regras que vamos usar (explicadinha, devagarinho):\n
  • Regra do logaritmo do produto: \;\ln(a b)=\ln a+\ln b. Aqui a e b são quaisquer números positivos.\n
  • Derivada do logaritmo composto (regra da cadeia para log): se \;y=\ln(u(x)) então \;y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Nesse caso u(x) é a função dentro do \ln e u'(x) é a derivada de u.\n
  • Derivada de \;\ln x (para x>0) é \;\dfrac{1}{x}.\n
  • Derivada de \;\mathrm{e}^{x} é \;\mathrm{e}^{x}.\n
  • Regra do produto: se u(x)=f(x)g(x) então u'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\n
    Vou aplicar essas regras com calma no próximo passo.

Passo 3

Método mais simples: usar a propriedade do logaritmo para simplificar antes de derivar.\n
Aplicando \ln(ab)=\ln a+\ln b com a=x e b=\mathrm{e}^{x} temos:
y=\ln x + \ln\big(\mathrm{e}^{x}\big).
Agora use que \ln\big(\mathrm{e}^{x}\big)=x (porque \ln e \mathrm{e}^{(\cdot)} são funções inversas). Então
y=\ln x + x.
Derivando termo a termo (regra linear da derivada): a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} e a derivada de x é 1. Assim
y'=\dfrac{1}{x}+1.
Se quiser, reescreve como \;y'=1+\dfrac{1}{x}.

Passo 4

(Verificação alternativa — útil para a prova: usar regra da cadeia sem simplificar.)\n
Defina \;u(x)=x\mathrm{e}^{x}, então \;y=\ln(u(x)) e \;y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.\n
Calcule u'(x) usando a regra do produto: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x)\cdot\mathrm{e}^{x}+x\cdot\dfrac{d}{dx}(\mathrm{e}^{x})=1\cdot\mathrm{e}^{x}+x\cdot\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(1+x).\n
Substituindo em \;y'=\dfrac{u'}{u} obtemos
y'=\dfrac{\mathrm{e}^{x}(1+x)}{x\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{1+x}{x}=1+\dfrac{1}{x},
confirmando o resultado anterior. Essa verificação mostra que tanto simplificar antes quanto aplicar a regra do log direto dão o mesmo resultado.

Passo 5

Observações finais e dica de prova:\n
  • Lembre que a expressão final \;y'=1+\dfrac{1}{x} só faz sentido para \;x>0, pois precisamos do domínio do \ln.\n
  • Em provas, simplificar logaritmos antes de derivar costuma ser mais rápido e reduz risco de erro; mas saber aplicar a regra da cadeia direto também é útil quando não dá para simplificar tão facilmente.\n
    Você está indo bem — respira, lê com calma e aplica uma regra por vez!

Resposta

y'=1+\dfrac{1}{x}

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