Questão 4: Resolva as integrais por meio do Método das Frações Parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o Método das Frações Parciais. As informações relevantes são:
A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função racional.
Passo 2
Observação importante (por que não começamos já a decompor?): o grau do numerador é
, e o grau do denominador é
. Como o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, a fração é imprópria e antes de aplicar frações parciais precisamos fazer uma divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria. Isso é obrigatório para que a decomposição em frações parciais seja do tipo simples que conhecemos.
Passo 3
Vamos fazer a divisão polinomial de
por
Passo a passo da divisão: o primeiro quociente é
porque
. Multiplicando o divisor por
temos
Subtraindo da parte inicial:
Logo a divisão resulta em quociente
e resto
. Assim podemos reescrever a fração original como
Passo 4
Agora trabalhamos com a parte própria
Fatoramos o denominador:
Como os fatores são lineares e distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para encontrar
e
usamos substituições convenientes (método rápido):
- Pondo
temos , então
- Pondo
temos , então
Podemos checar equacionando coeficientes, mas essas substituições já deram os valores.
Passo 6
Substituindo
e
de volta, obtemos
Então a integranda original ficou
Passo 7
Agora integramos termo a termo. Lembretes das fórmulas que vamos usar:
-
. Logo . -
. Aqui é uma constante; o logaritmo natural aparece diretamente.
Usando isso,
Passo 8
Somando as integrais parciais, a primitiva geral é
onde
é a constante de integração. Se quiser, podemos combinar os logaritmos:
mas a forma com somas de logaritmos já é perfeitamente aceitável na resposta final.