Questão 4: Resolva as integrais por meio do Método das Frações Parciais.
\int \frac{2 x^{3}-4 x^{2}-15 x+5}{x^{2}-2 x-8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{3}-4 x^{2}-15 x+5}{x^{2}-2 x-8}\,dx
usando o Método das Frações Parciais. As informações relevantes são:
\text{numerador: }2x^{3}-4x^{2}-15x+5,
\text{denominador: }x^{2}-2x-8.
A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função racional.

Passo 2

Observação importante (por que não começamos já a decompor?): o grau do numerador é \,3, e o grau do denominador é \,2. Como o numerador tem grau maior ou igual ao do denominador, a fração é imprópria e antes de aplicar frações parciais precisamos fazer uma divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria. Isso é obrigatório para que a decomposição em frações parciais seja do tipo simples que conhecemos.

Passo 3

Vamos fazer a divisão polinomial de
2x^{3}-4x^{2}-15x+5
por
x^{2}-2x-8.
Passo a passo da divisão: o primeiro quociente é \,2x porque \dfrac{2x^{3}}{x^{2}}=2x. Multiplicando o divisor por 2x temos
2x\cdot(x^{2}-2x-8)=2x^{3}-4x^{2}-16x.
Subtraindo da parte inicial:
(2x^{3}-4x^{2}-15x+5)-(2x^{3}-4x^{2}-16x)=x+5.
Logo a divisão resulta em quociente 2x e resto x+5. Assim podemos reescrever a fração original como
\frac{2 x^{3}-4 x^{2}-15 x+5}{x^{2}-2 x-8}=2x+\frac{x+5}{x^{2}-2x-8}.

Passo 4

Agora trabalhamos com a parte própria
\frac{x+5}{x^{2}-2x-8}.
Fatoramos o denominador:
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2).
Como os fatores são lineares e distintos, a decomposição em frações parciais tem a forma
\frac{x+5}{(x-4)(x+2)}=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x+2},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x+2) obtemos a identidade
x+5 = A(x+2)+B(x-4).
Para encontrar A e B usamos substituições convenientes (método rápido):
  • Pondo x=4 temos 4+5=9 = A(4+2)=6A, então
A=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.
  • Pondo x=-2 temos -2+5=3 = B(-2-4) = -6B, então
B=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.
Podemos checar equacionando coeficientes, mas essas substituições já deram os valores.

Passo 6

Substituindo A e B de volta, obtemos
\frac{x+5}{x^{2}-2x-8}=\frac{3/2}{x-4}-\frac{1/2}{x+2}.
Então a integranda original ficou
\frac{2 x^{3}-4 x^{2}-15 x+5}{x^{2}-2 x-8}=2x+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 7

Agora integramos termo a termo. Lembretes das fórmulas que vamos usar:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. Logo \displaystyle \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Aqui a é uma constante; o logaritmo natural aparece diretamente.
    Usando isso,
\int 2x\,dx = x^{2},
\int \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-4}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-4|,
\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2}\,dx = -\frac{1}{2}\ln|x+2|.

Passo 8

Somando as integrais parciais, a primitiva geral é
x^{2}+\frac{3}{2}\ln|x-4|-\frac{1}{2}\ln|x+2|+C,
onde C é a constante de integração. Se quiser, podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{2}\bigl(3\ln|x-4|-\ln|x+2|\bigr)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{|x-4|^{3}}{|x+2|}\right),
mas a forma com somas de logaritmos já é perfeitamente aceitável na resposta final.

Resposta

x^{2}+\frac{3}{2}\ln|x-4|-\frac{1}{2}\ln|x+2|+C

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