Questão 3. Obtenha a solução geral da equação
.
i)
Escreveu a equação característica
.
ii)
Resolveu a equação característica e obteve
.
iii)
Escreveu que no caso de raízes repetidas
, a solução geral da Equação de Cauchy-Euler é dada por
para
.
iv)
Escreveu a resposta final
para
.
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação diferencial ordinária
onde
e
.
- O pedido é: obter a solução geral
dessa equação (solução que contém as constantes arbitrárias). - Informação implícita importante: a equação está escrita em termos de potências de
multiplicando e , o que sugere usar soluções da forma ; a solução final será dada para (para poder usar sem problemas).
Passo 2
Reconhecendo a forma da equação e justificando a ideia de tentativa:
- A equação tem a forma
com
,
,
. Equações desse tipo são clássicas e admitem uma tentativa de solução do tipo
onde
é uma constante a determinar. A razão: para
as derivadas trazem fatores de
e potências de
que permitem transformar a EDO numa equação algébrica para
. Esta é uma técnica padrão (muito útil em provas): testar
e obter a chamada equação característica.
Passo 3
Aplicando a tentativa
e calculando as derivadas:
- Se
então
- Substituindo na equação dada:
- Simplificando os fatores
(todos os termos ficam com multiplicando uma expressão em ):
Como
não é identicamente zero para
, podemos dividir por
e obter a equação algébrica (característica) para
.
Passo 4
Obtendo e simplificando a equação característica:
- A equação para
fica
- Desenvolvendo
:
- Logo a equação característica é
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para
:
- Para a quadrática
o discriminante é
- Como
, há uma raiz dupla. A raiz é
- Portanto a equação característica tem a raiz repetida
.
Passo 6
Forma geral de solução para raiz simples e para raiz repetida (explicação didática):
- Se a equação característica tivesse duas raízes reais e distintas
e , a solução geral seria
- No caso de raiz dupla
(como aqui), a teoria das equações de Euler-Cauchy diz que as duas soluções independentes são
portanto a solução geral é
- Intuição curta por que aparece
: a raíz dupla na equação característica corresponde, após a mudança de variável , a uma equação com coeficientes constantes cuja solução para uma raiz dupla é . Voltando para (com ) dá . Essa transformação é uma demonstração limpa e rápida do motivo da forma com .
Passo 7
Aplicando o caso de raiz dupla ao nosso
:
- Substituindo
na forma geral para raiz dupla:
- Podemos fatorar
se quisermos escrever de forma mais compacta:
- Outra forma comum e muito usada é escrever
, ficando
Passo 8
Observações finais e domínio:
- Como aparece
, a forma acima é válida para . Para poderia-se usar e incluir fatores de sinal complexos, mas em contextos reais e provas costuma-se apresentar a solução em . - As constantes
são arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).