Questão 3. Obtenha a solução geral da equação 4 x^{2} y^{\prime \prime}+8 x y^{\prime}+y=0.
i) (0,5) Escreveu a equação característica 4 m^{2}+4 m+1=0.
ii) (0,5) Resolveu a equação característica e obteve m=-1 / 2.
iii) (0,75) Escreveu que no caso de raízes repetidas m, a solução geral da Equação de Cauchy-Euler é dada por y(x)=c_{1} x^{m}+c_{2} x^{m} \ln (x) para x>0.
iv) (0,75) Escreveu a resposta final y(x)=\frac{c_{1}+c_{2} \ln (x)}{\sqrt{x}} para x>0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação diferencial ordinária
4 x^{2} y'' + 8 x y' + y = 0,
onde y'=dy/dx e y''=d^{2}y/dx^{2}.
  • O pedido é: obter a solução geral y(x) dessa equação (solução que contém as constantes arbitrárias).
  • Informação implícita importante: a equação está escrita em termos de potências de x multiplicando y'',y' e y, o que sugere usar soluções da forma x^{m}; a solução final será dada para x>0 (para poder usar \ln(x) sem problemas).

Passo 2

Reconhecendo a forma da equação e justificando a ideia de tentativa:
  • A equação tem a forma
a x^{2} y'' + b x y' + c y = 0
com a=4, b=8, c=1. Equações desse tipo são clássicas e admitem uma tentativa de solução do tipo
y(x)=x^{m},
onde m é uma constante a determinar. A razão: para y=x^{m} as derivadas trazem fatores de m e potências de x que permitem transformar a EDO numa equação algébrica para m. Esta é uma técnica padrão (muito útil em provas): testar y=x^{m} e obter a chamada equação característica.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=x^{m} e calculando as derivadas:
  • Se y(x)=x^{m} então
y'(x)=m x^{m-1}, \qquad y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
  • Substituindo na equação dada:
4 x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big) + 8 x\big(m x^{m-1}\big) + 1\cdot x^{m} = 0.
  • Simplificando os fatores x^{m} (todos os termos ficam com x^{m} multiplicando uma expressão em m):
4 m(m-1) x^{m} + 8 m x^{m} + x^{m} = 0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x>0, podemos dividir por x^{m} e obter a equação algébrica (característica) para m.

Passo 4

Obtendo e simplificando a equação característica:
  • A equação para m fica
4 m(m-1) + 8 m + 1 = 0.
  • Desenvolvendo 4 m(m-1):
4(m^{2}-m) + 8m + 1 = 4 m^{2} -4 m +8 m + 1 = 4 m^{2} + 4 m + 1.
  • Logo a equação característica é
4 m^{2} + 4 m + 1 = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para m:
  • Para a quadrática 4 m^{2} + 4 m + 1 = 0 o discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4\cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0.
  • Como \Delta=0, há uma raiz dupla. A raiz é
m = \frac{-4}{2\cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\tfrac{1}{2}.
  • Portanto a equação característica tem a raiz repetida m=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Forma geral de solução para raiz simples e para raiz repetida (explicação didática):
  • Se a equação característica tivesse duas raízes reais e distintas m_{1} e m_{2}, a solução geral seria
y(x)=C_{1} x^{m_{1}} + C_{2} x^{m_{2}}.
  • No caso de raiz dupla m (como aqui), a teoria das equações de Euler-Cauchy diz que as duas soluções independentes são
y_{1}(x)=x^{m},\qquad y_{2}(x)=x^{m}\ln(x),
portanto a solução geral é
y(x)=C_{1} x^{m} + C_{2} x^{m}\ln(x).
  • Intuição curta por que aparece \ln(x): a raíz dupla na equação característica corresponde, após a mudança de variável t=\ln(x), a uma equação com coeficientes constantes cuja solução para uma raiz dupla r é (A + B t)e^{r t}. Voltando para x (com t=\ln x) dá x^{r}(A + B\ln x). Essa transformação é uma demonstração limpa e rápida do motivo da forma com \ln(x).

Passo 7

Aplicando o caso de raiz dupla ao nosso m=-\tfrac{1}{2}:
  • Substituindo m=-\tfrac{1}{2} na forma geral para raiz dupla:
y(x) = C_{1} x^{-1/2} + C_{2} x^{-1/2} \ln(x).
  • Podemos fatorar x^{-1/2} se quisermos escrever de forma mais compacta:
y(x) = x^{-1/2}\big(C_{1} + C_{2} \ln(x)\big).
  • Outra forma comum e muito usada é escrever x^{-1/2} = 1/\sqrt{x}, ficando
y(x) = \frac{C_{1} + C_{2}\ln(x)}{\sqrt{x}}.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • Como aparece \ln(x), a forma acima é válida para x>0. Para x<0 poderia-se usar \ln(-x) e incluir fatores de sinal complexos, mas em contextos reais e provas costuma-se apresentar a solução em x>0.
  • As constantes C_{1},C_{2} são arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se houver).

Resposta

y(x)=\frac{C_{1}+C_{2}\ln(x)}{\sqrt{x}},\qquad x>0

Exercícios relacionados