Questão 1. Encontre a solução do PVI a seguir e descreva o que ocorre com tal solução quando
.
i) (0,3) Escreveu a equação característica
.
ii)
Resolveu a equação característica e encontrou
e
.
iii)
Escreveu que a solução geral da EDO é da forma
.
iv)
Derivou
obtida acima e encontrou
.
v)
Calculou
e
para obter o sistema linear
.
vi)
Resolveu o sistema e obteve
e
.
vii)
Escreveu a solução do PVI
.
viii)
Justificou que essa solução tende a zero quando
.
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dado o problema de valor inicial (PVI)
- Perguntas explícitas:
- Encontrar a solução
do PVI. - Descrever o que ocorre com essa solução quando
.]
- Encontrar a solução
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes uma técnica padrão é tentar soluções da forma
. Por quê? Porque ao derivar
aparecem fatores de
constantes:
Substituindo essas expressões na equação diferencial homogênea, o fator comum
(não nulo) pode ser cancelado, sobrando uma equação algébrica para
chamada equação característica.
Passo 3
Formando e resolvendo a equação característica:
- Substituindo
em obtemos a equação característica
- Resolver essa quadrática. Calcule o discriminante:
As raízes são
Logo
- Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da EDO é
onde
são constantes a determinar pelos dados iniciais.
Passo 4
Calcular a derivada
necessária para aplicar a condição inicial de derivada. Derivando termo a termo:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em
.
- Usando
:
- Usando
:
Portanto o sistema é
Passo 6
Resolver o sistema linear passo a passo.
- Some as duas equações para eliminar
:
- Daí
- Substituir em
para achar :
Passo 7
Escrever a solução particular do PVI com os coeficientes encontrados:
Aqui está a solução explícita válida para todo
.
Passo 8
Analisar o comportamento quando
(explicação didática sobre limites de exponenciais negativas).
-
Fato chave: para qualquer constante
tem-se . Isso decorre de que a exponencial decai para zero quando o expoente vai para . -
Aplicando isso termo a termo:
- Como soma de limites é limite da soma, concluímos
- Observação adicional útil para a prova: entre os dois termos,
decai mais devagar que , portanto para grande a solução se comporta assintoticamente como (mas ainda tende a zero).