Questão 1. Encontre a solução do PVI a seguir e descreva o que ocorre com tal solução quando x \rightarrow \infty.
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0 \\\ y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.
i) (0,3) Escreveu a equação característica m^{2}+4 m+3=0.
ii) (0,2) Resolveu a equação característica e encontrou m_{1}=-3 e m_{2}=-1.
iii) (0,3) Escreveu que a solução geral da EDO é da forma y(x)=c_{1} e^{-3 x}+c_{2} e^{-x}.
iv) (0,4) Derivou y(x) obtida acima e encontrou y^{\prime}(x)=-3 c_{1} e^{-3 x}-c_{2} e^{-x}.
v) (0,4) Calculou y(0) e y^{\prime}(0) para obter o sistema linear c_{1}+c_{2}=2 \mathrm{e}-3 c_{1}-c_{2}=-1.
vi) (0,3) Resolveu o sistema e obteve c_{1}=-1 / 2 e c_{2}=5 / 2.
vii) (0,3) Escreveu a solução do PVI y(x)=-1 / 2 e^{-3 x}+5 / 2 e^{-x}.
viii) (0,3) Justificou que essa solução tende a zero quando x \rightarrow \infty.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o problema de valor inicial (PVI)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0,\\[4pt] y(0)=2,\quad y^{\prime}(0)=-1. \end{array}\right.
  • Perguntas explícitas:
    1. Encontrar a solução y(x) do PVI.
    2. Descrever o que ocorre com essa solução quando x\to\infty.]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes uma técnica padrão é tentar soluções da forma y(x)=e^{m x}. Por quê? Porque ao derivar e^{m x} aparecem fatores de m constantes:
y=e^{m x}\quad\Rightarrow\quad y^{\prime}=m e^{m x},\quad y^{\prime\prime}=m^{2}e^{m x}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial homogênea, o fator comum e^{m x} (não nulo) pode ser cancelado, sobrando uma equação algébrica para m chamada equação característica.

Passo 3

Formando e resolvendo a equação característica:
  • Substituindo y=e^{m x} em y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=0 obtemos a equação característica
m^{2}+4m+3=0.
  • Resolver essa quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot3 = 16-12 = 4.
As raízes são
m=\frac{-4\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-4\pm2}{2}.
Logo
m_{1}=-3,\qquad m_{2}=-1.
  • Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=c_{1}e^{m_{1}x}+c_{2}e^{m_{2}x}=c_{1}e^{-3x}+c_{2}e^{-x},
onde c_{1},c_{2} são constantes a determinar pelos dados iniciais.

Passo 4

Calcular a derivada y^{\prime}(x) necessária para aplicar a condição inicial de derivada. Derivando termo a termo:
y^{\prime}(x)=-3c_{1}e^{-3x}-c_{2}e^{-x}.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema linear em c_{1},c_{2}.
  • Usando y(0)=2:
y(0)=c_{1}e^{0}+c_{2}e^{0}=c_{1}+c_{2}=2.
  • Usando y^{\prime}(0)=-1:
y^{\prime}(0)=-3c_{1}-c_{2}=-1.
Portanto o sistema é
\begin{cases} c_{1}+c_{2}=2,\\[4pt] -3c_{1}-c_{2}=-1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear passo a passo.
  • Some as duas equações para eliminar c_{2}:
(c_{1}+c_{2})+(-3c_{1}-c_{2})=2+(-1)\quad\Rightarrow\quad -2c_{1}=1.
  • Daí
c_{1}=-\tfrac{1}{2}.
  • Substituir em c_{1}+c_{2}=2 para achar c_{2}:
-\tfrac{1}{2}+c_{2}=2\quad\Rightarrow\quad c_{2}=2+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular do PVI com os coeficientes encontrados:
y(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-3x}+\tfrac{5}{2}e^{-x}.
Aqui está a solução explícita válida para todo x.

Passo 8

Analisar o comportamento quando x\to\infty (explicação didática sobre limites de exponenciais negativas).
  • Fato chave: para qualquer constante a>0 tem-se \lim_{x\to\infty}e^{-a x}=0. Isso decorre de que a exponencial decai para zero quando o expoente vai para -\infty.
  • Aplicando isso termo a termo:
\lim_{x\to\infty}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-3x}\right)=-\tfrac{1}{2}\cdot0=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(\tfrac{5}{2}e^{-x}\right)=\tfrac{5}{2}\cdot0=0.
  • Como soma de limites é limite da soma, concluímos
\lim_{x\to\infty}y(x)=0.
  • Observação adicional útil para a prova: entre os dois termos, e^{-x} decai mais devagar que e^{-3x}, portanto para x grande a solução se comporta assintoticamente como \tfrac{5}{2}e^{-x} (mas ainda tende a zero).

Resposta

y(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-3x}+\tfrac{5}{2}e^{-x}
\displaystyle \lim_{x\to\infty}y(x)=0

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