Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
x^prime+(10-7) x=2 e^4 t, x(0)=0

Passo 1

Na questão temos o PVI x' + (10-7)x = 2e^4t com condição inicial x(0)=0. Ou seja, x' + 3x = 2e^4t. Esse é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral 3,dt = e^3t

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
e^3tx' + 3e^3tx = 2e^3te^4t = 2e^7t
O lado esquerdo é justamente a derivada de e^3tx, ou seja, tfracddt(e^3tx).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^3tx),dt = integral 2e^7t,dt
Isso leva a
e^3tx = 27e^7t + C
Aplicando a condição inicial x(0)=0:
1cdot0 = 27 + C implies C = -27

Resposta

x(t) = 27l(e^4t - e^-3tr)

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