Seja
f(x, y)=e^x cos (y)+ln (5 x+x y)
Obtenha
& fx y(x, y), & fy x(x, y)
e
partial^3 f(x, y)partial x partial y^2

Passo 1

No enunciado temos a função f(x,y)=e^xcos(y)+ln(5x+xy). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e mistas, e vamos precisar usar regras de derivação de exponencial, cosseno e logaritmo.

Passo 2

Para começar, derivamos f em relação a x. Usamos que partialxl(e^xcos(y)r)=e^xcos(y) e partialxl(ln(5x+xy)r)=5+y5x+xy. Como 5x+xy=x(5+y), isso simplifica para 1/x. Logo,
fx = e^xcos(y) + 1x

Passo 3

Agora obtemos fxy=partialy(fx). Diferenciando e^xcos(y) em relação a y -e^xsin(y) e partialy(1/x)=0. Assim,
fxy(x,y) = -e^xsin(y)

Passo 4

De forma análoga, derivamos f em relação a y. Temos partialyl(e^xcos(y)r)=-e^xsin(y) e partialyl(ln(x(5+y))r)=xx(5+y)=15+y. Logo,
fy = -e^xsin(y) + 15+y

Passo 5

Em seguida, calculamos fyx=partialx(fy). A derivada de -e^xsin(y) em relação a x é -e^xsin(y) e partialx(1/(5+y))=0. Portanto,
fyx(x,y) = -e^xsin(y), confirmando que fxy=fyx.

Passo 6

Por fim, para partial^3fpartial xpartial y^2, primeiro achamos partialy^2f. A partir de fy:
partialy^2f = partialyl(-e^xsin(y)+15+yr) = -e^xcos(y) - 1(5+y)^2
Agora derivamos isso em relação a x, obtendo apenas -e^xcos(y). Logo,
partial^3fpartial xpartial y^2(x,y) = -e^xcos(y)

Resposta

fxy(x,y) = -e^xsin(y), fyx(x,y) = -e^xsin(y) e partial^3fpartial xpartial y^2(x,y) = -e^xcos(y).

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