Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-7

Passo 1

O objetivo é resolver o PVI y' - yt+1 = 2t+2, para t>-1, com condição inicial y(1)=5-7=-2. Isso cai em EDO linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(t)y = Q(t). Aqui temos
P(t) = -1t+1, Q(t)=2t+2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr)=\exp\Bigl(-\int\frac{1}{t+1}dt\Bigr)=\exp\bigl(-\ln|t+1|\bigr)=\frac{1}{t+1}.
$$
Multiplicamos a EDO por mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(-integral1t+1dtr)=expl(-ln|t+1|r)=1t+1 .

Passo 4

Após multiplicar surge
$$\frac{1}{t+1}y’ - \frac{1}{(t+1)^2}y = \frac{2t+2}{t+1}=2.
1t+1y' - 1(t+1)^2y = 2t+2t+1=2 \frac{d}{dt}\Bigl(\frac{y}{t+1}\Bigr)=2.
$$
Integramos ambos os lados: ddtl(yt+1r)=2 .

Passo 5

Isolamos y:
y=(t+1)(2t+C)=2t^2+(C+2)t+C
Aplicamos a condição inicial y(1)=-2:
-2=2cdot1^2+(C+2)cdot1+C=2+C+2+C=4+2C$$
2C=-6\implies C=-3.$$

Passo 6

Substituindo C=-3 obtemos a solução particular
y(t)=(t+1)(2t-3)=2t^2-t-3

Resposta

y(t)=2t^2-t-3

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