Questão 1. Resolva os PVIs abaixo:
Passo 1
O objetivo é resolver o PVI
, para
, com condição inicial
. Isso cai em EDO linear de 1ª ordem e vamos usar fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
. Aqui temos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
$$\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t),dt\Bigr)=\exp\Bigl(-\int\frac{1}{t+1}dt\Bigr)=\exp\bigl(-\ln|t+1|\bigr)=\frac{1}{t+1}.
$$
Multiplicamos a EDO por .
Multiplicamos a EDO por
Passo 4
Após multiplicar surge
$$\frac{1}{t+1}y’ - \frac{1}{(t+1)^2}y = \frac{2t+2}{t+1}=2.
$$
Integramos ambos os lados: .
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Isolamos
:
Aplicamos a condição inicial
2C=-6\implies C=-3.$$
Passo 6
Substituindo
obtemos a solução particular