(1,5) Determine o limite da função se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) (x+y)^2x^2+y^2
ao longo da parábola y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de f(x,y) = (x+y)^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0) ao longo da parábola y=x^2. O conteúdo é limite de função de duas variáveis restrito a um caminho e vamos precisar substituir y=x^2 e estudar o comportamento de uma função de uma única variável quando xto 0.

Passo 2

Substituindo y=x^2 em f obtemos
f(x,x^2) = (x + x^2)^2x^2 + x^4
Fatorando x^2 do numerador e denominador:
f(x,x^2) = x^2(1+x)^2x^2(1+x^2) = (1+x)^21+x^2
Como xto 0, (1+x)^2 to 1 e 1+x^2 to 1, logo (1+x)^21+x^2to 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados