Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Informações importantes fornecidas:
- É uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem.
- Os coeficientes são constantes:
, e . - O termo não-homogêneo (fonte) é o polinômio
. - Objetivo: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação (ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias).
Passo 2
Estratégia geral (explicando passo a passo, sem pular etapas):
- Para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular da equação não-homogênea.
- Escreveremos a equação homogênea associada e encontraremos suas raízes características para obter a solução complementar
. - Depois usaremos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular
adequada ao termo . - A solução geral será
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo, obtemos a equação característica
Esta é uma quadrática; vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 4
Montar a solução complementar (solução da homogênea):
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução complementar é
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução complementar é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinarão a família de soluções da homogênea).
Passo 5
Escolher um palpite para a solução particular usando método dos coeficientes indeterminados:
- O termo não-homogêneo é um polinômio de grau
(ou seja, ). Para tais termos, tenta-se um polinômio de mesmo grau com coeficientes indeterminados:
onde
e
são constantes a determinar.
- Antes de aplicar, verificar se alguma parte deste palpite coincide com a solução complementar (ressonância). Como a solução complementar usa exponenciais
, nenhuma delas é um polinômio; em particular não é raiz da característica (as raízes são ). Portanto não há ressonância e o palpite polinomial é válido.
Passo 6
Calcular derivadas do palpite e substituir na equação para determinar
e
:
Derivadas de :
Derivadas de
Substituindo em
:
Simplificando o lado esquerdo:
Agora igualamos coeficientes de potências de
em ambos os lados (método de comparação de coeficientes):
- Coeficiente de
: . Logo
- Termo constante:
. Substituindo :
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada:
Passo 8
Combinar solução complementar e particular para obter a solução geral:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinadas se existirem condições iniciais).