Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-2 y=x+2

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+6y'-2y = x + 2.
Informações importantes fornecidas:
  • É uma EDO linear não-homogênea de segunda ordem.
  • Os coeficientes são constantes: 1, 6 e -2.
  • O termo não-homogêneo (fonte) é o polinômio x+2.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação (ou seja, a família de soluções com constantes arbitrárias).

Passo 2

Estratégia geral (explicando passo a passo, sem pular etapas):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução complementar (solução da homogênea) e de uma solução particular da equação não-homogênea.
  • Escreveremos a equação homogênea associada e encontraremos suas raízes características para obter a solução complementar y_c.
  • Depois usaremos o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular y_p adequada ao termo x+2.
  • A solução geral será y(x)=y_c(x)+y_p(x).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+6y'-2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo, obtemos a equação característica
r^{2}+6r-2=0.
Esta é uma quadrática; vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para uma equação ar^{2}+br+c=0, as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=6, c=-2. Calculando o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=36+8=44.
Portanto as raízes são
r=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{11}}{2}=-3\pm\sqrt{11}.

Passo 4

Montar a solução complementar (solução da homogênea):
Como as duas raízes são reais e distintas, a solução complementar é
y_{c}(x)=C_{1}e^{(-3+\sqrt{11})x}+C_{2}e^{(-3-\sqrt{11})x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinarão a família de soluções da homogênea).

Passo 5

Escolher um palpite para a solução particular usando método dos coeficientes indeterminados:
  • O termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1 (ou seja, x+2). Para tais termos, tenta-se um polinômio de mesmo grau com coeficientes indeterminados:
y_{p}(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a determinar.
  • Antes de aplicar, verificar se alguma parte deste palpite coincide com a solução complementar (ressonância). Como a solução complementar usa exponenciais e^{(-3\pm\sqrt{11})x}, nenhuma delas é um polinômio; em particular r=0 não é raiz da característica (as raízes são -3\pm\sqrt{11}\neq0). Portanto não há ressonância e o palpite polinomial é válido.

Passo 6

Calcular derivadas do palpite e substituir na equação para determinar A e B:
Derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=A, \qquad y_{p}''(x)=0.
Substituindo em \,y''+6y'-2y=x+2\,:
0 + 6A - 2(Ax+B) = x+2.
Simplificando o lado esquerdo:
-2Ax + (6A - 2B) = x + 2.
Agora igualamos coeficientes de potências de x em ambos os lados (método de comparação de coeficientes):
  • Coeficiente de x: -2A = 1. Logo
A = -\tfrac{1}{2}.
  • Termo constante: 6A - 2B = 2. Substituindo A=-\tfrac{1}{2}:
6\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) - 2B = 2 \quad\Rightarrow\quad -3 - 2B = 2 \quad\Rightarrow\quad -2B = 5 \quad\Rightarrow\quad B = -\tfrac{5}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada:
y_{p}(x) = Ax + B = -\tfrac{1}{2}x - \tfrac{5}{2}.

Passo 8

Combinar solução complementar e particular para obter a solução geral:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x) = C_{1}e^{(-3+\sqrt{11})x}+C_{2}e^{(-3-\sqrt{11})x}-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{5}{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinadas se existirem condições iniciais).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{(-3+\sqrt{11})x}+C_{2}e^{(-3-\sqrt{11})x}-\tfrac{1}{2}x-\tfrac{5}{2}

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