Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
3 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-y=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
3y''-2y'-y = x^{2}+1.
Informações dadas:
  • A equação é linear e não-homogênea de segunda ordem.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x^{2}+1.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro vou resolver a equação homogênea associada (tirando o termo do lado direito). A equação homogênea é
3y''-2y'-y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a substituição tentativa y=e^{rx}. Substituindo nessa forma, obtemos a equação característica (uma equação algébrica para r):
3r^{2}-2r-1=0.
Explicando: a ideia é que derivar e^{rx} mantém a forma r vezes e^{rx}, então a equação diferencial vira um polinômio em r. As raízes desse polinômio determinam as exponenciais que compõem a solução homogênea.

Passo 3

Resolvendo a quadrática \,3r^{2}-2r-1=0. Uso a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática):
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)}}{2\cdot3} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{6} =\frac{2\pm\sqrt{16}}{6} =\frac{2\pm4}{6}.
Portanto as raízes são
r_{1}=\frac{2+4}{6}=1,\qquad r_{2}=\frac{2-4}{6}=-\frac{1}{3}.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é
y_{c}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x/3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (vindas das condições iniciais que aqui não foram dadas).

Passo 4

Agora preciso de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), apropriado quando o lado direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto simples desses.
Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau n, tento uma solução particular também polinomial de grau n,
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C.
Antes de fixar isso há uma verificação de ressonância: se alguma raiz do polinômio característico for 0 (ou gerar termos iguais ao ansatz), é preciso multiplicar por x^{m}. Aqui as raízes foram 1 e -\tfrac{1}{3}, nenhuma é 0, logo não há ressonância com um polinômio; o ansatz polinomial de grau 2 é adequado.

Passo 5

Calculo as derivadas do ansatz polinomial. Para
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C
temos
y_{p}'(x)=2Ax+B, \qquad y_{p}''(x)=2A.
Explicando: a derivada de Ax^{2} é 2Ax, da de Bx é B e de C é 0. A segunda derivada de Ax^{2} é 2A (constante).

Passo 6

Substituo y_{p}, y_{p}', y_{p}'' na equação diferencial para determinar A,B,C:
3y_{p}''-2y_{p}'-y_{p} =3(2A)-2(2Ax+B)-(Ax^{2}+Bx+C).
Faço a expansão com calma:
3(2A)=6A, \qquad -2(2Ax+B)=-4Ax-2B, \qquad -(Ax^{2}+Bx+C)=-Ax^{2}-Bx-C.
Somando tudo:
3y_{p}''-2y_{p}'-y_{p}= -Ax^{2}+(-4A-B)x+(6A-2B-C).

Passo 7

Agora igualo essa expressão ao lado direito \,x^{2}+1. Igualando coeficientes de potências de x (método padrão para polinômios), obtenho o sistema:
  • Coeficiente de x^{2}:
- A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
  • Coeficiente de x:
-4A - B = 0 \quad\Rightarrow\quad -4(-1) - B = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 - B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = 4.
  • Coeficiente constante:
6A - 2B - C = 1.
Substituo A=-1 e B=4:
6(-1) - 2(4) - C = 1 \quad\Rightarrow\quad -6 -8 - C = 1 \quad\Rightarrow\quad -14 - C = 1.
Logo
- C = 15 \quad\Rightarrow\quad C = -15.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x) = -x^{2} + 4x - 15.

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x/3}-x^{2}+4x-15.
Comentário rápido para te deixar confiante: a parte C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x/3} é anulada pela operação linear 3D^{2}-2D-1 (onde D é a derivada) — por isso ela resolve a homogênea — e a parte polinomial foi construída exatamente para satisfazer a igualdade com x^{2}+1.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x/3}-x^{2}+4x-15

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