Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
Informações dadas:
- A equação é linear e não-homogênea de segunda ordem.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
. - O objetivo é encontrar a solução geral
, que combina a solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro vou resolver a equação homogênea associada (tirando o termo do lado direito). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a substituição tentativa
. Substituindo nessa forma, obtemos a equação característica (uma equação algébrica para
):
Explicando: a ideia é que derivar
mantém a forma
vezes
, então a equação diferencial vira um polinômio em
. As raízes desse polinômio determinam as exponenciais que compõem a solução homogênea.
Passo 3
Resolvendo a quadrática
. Uso a fórmula de Bhaskara (ou fórmula quadrática):
Portanto as raízes são
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (vindas das condições iniciais que aqui não foram dadas).
Passo 4
Agora preciso de uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), apropriado quando o lado direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou produto simples desses.
Regra prática: se o lado direito é um polinômio de grau
, tento uma solução particular também polinomial de grau
,
Antes de fixar isso há uma verificação de ressonância: se alguma raiz do polinômio característico for
(ou gerar termos iguais ao ansatz), é preciso multiplicar por
. Aqui as raízes foram
e
, nenhuma é
, logo não há ressonância com um polinômio; o ansatz polinomial de grau
é adequado.
Passo 5
Calculo as derivadas do ansatz polinomial. Para
temos
Explicando: a derivada de
é
, da de
é
e de
é
. A segunda derivada de
é
(constante).
Passo 6
Substituo
,
,
na equação diferencial para determinar
:
Faço a expansão com calma:
Somando tudo:
Passo 7
Agora igualo essa expressão ao lado direito
. Igualando coeficientes de potências de
(método padrão para polinômios), obtenho o sistema:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente constante:
Substituo
e
:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Comentário rápido para te deixar confiante: a parte
é anulada pela operação linear
(onde
é a derivada) — por isso ela resolve a homogênea — e a parte polinomial foi construída exatamente para satisfazer a igualdade com
.