Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes:
y'' + 4y' = x^{2} - 1.
Informações e pedidos extraídos do enunciado:
  • A equação dada é \;y'' + 4y' = x^{2}-1\;.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) dessa EDO (ou seja, a família de soluções que envolve duas constantes arbitrárias, por ser segunda ordem).

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada (a parte complementar). A homogênea é
y'' + 4y' = 0.
Para resolver, montamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2} + 4r = 0.
Resolvendo a equação característica:
r(r+4)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \quad\text{ou}\quad r=-4.
Como são duas raízes reais distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
y_{c}(x) = C_{1} + C_{2}e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui C_{1} corresponde ao modo associado à raiz r=0 (termo constante) e C_{2}e^{-4x} ao modo associado a r=-4.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que funciona bem quando o membro direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou soma deles.
Regra prática importante (resonância): se alguma parte do ensaio para y_{p} já é solução da homogênea, é preciso multiplicar o ensaio por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz correspondente. No nosso caso o membro direito é o polinômio \;x^{2}-1\; (grau 2). O ensaio natural seria um polinômio de grau 2:
y_{p,\text{naive}} = ax^{2}+bx+c.
Porém a homogênea já contém uma função constante (porque r=0 é raiz), ou seja, o termo constante conflita com c. Isso implica multiplicar o ensaio por x (multiplicidade m=1 da raiz r=0). Portanto o ensaio correto é
y_{p}(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x.
Essa é a forma que vamos usar e vamos determinar a,b,c.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}. Usando derivação termo a termo:
y_{p}(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x,
y_{p}'(x) = 3a x^{2} + 2b x + c,
y_{p}''(x) = 6a x + 2b.
Expliquei: derivei a x^{3} como 3a x^{2}, b x^{2} como 2b x e c x como c; a segunda derivada de 3a x^{2} é 6a x e de 2b x é 2b.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial y''+4y' = x^{2}-1. Fazendo a soma:
y_{p}'' + 4y_{p}' = (6a x + 2b) + 4(3a x^{2} + 2b x + c).
Expanda e agrupe termos por potências de x:
y_{p}'' + 4y_{p}' = 6a x + 2b + 12a x^{2} + 8b x + 4c.
Organizando por potências:
y_{p}'' + 4y_{p}' = 12a\,x^{2} + (6a+8b)\,x + (2b+4c).

Passo 6

Igualamos coeficientes de cada potência em y_{p}''+4y_{p}'\) com os coeficientes correspondentes do membro direito \(\;x^{2}-1\;\), que pode ser visto como \[x^{2} - 1 = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + (-1).
Assim obtemos o sistema de equações para a,b,c:
\begin{cases} 12a = 1,\\[4pt] 6a + 8b = 0,\\[4pt] 2b + 4c = -1. \end{cases}
Resolva passo a passo:
  1. Da primeira equação,
a = \dfrac{1}{12}.
  1. Substituindo (a] na segunda:
    6\cdot\dfrac{1}{12} + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{2} + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad 8b = -\dfrac{1}{2}.
    Logo
    b = -\dfrac{1}{16}.
  2. Substituindo b na terceira:
2\left(-\dfrac{1}{16}\right) + 4c = -1 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{1}{8} + 4c = -1.
Assim
4c = -1 + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8},
portanto
c = -\dfrac{7}{32}.]

Passo 7

Escrevemos a solução particular com os coeficientes encontrados:
y_{p}(x) = \dfrac{1}{12}x^{3} - \dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{7}{32}x.
Verificação rápida mental: ao substituir essas frações nas expressões anteriores, os coeficientes se alinham para produzir x^{2}-1; os cálculos acima mostram a consistência.

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da solução complementar com a particular:
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = C_{1} + C_{2}e^{-4x} + \dfrac{1}{12}x^{3} - \dfrac{1}{16}x^{2} - \dfrac{7}{32}x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Boa! Essa é a família completa de soluções. Força nos estudos — já tá na reta final!

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-4x}+\dfrac{1}{12}x^{3}-\dfrac{1}{16}x^{2}-\dfrac{7}{32}x

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