Como são duas raízes reais distintas, a solução complementar (solução da homogênea) é
y_{c}(x) = C_{1} + C_{2}e^{-4x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui C_{1} corresponde ao modo associado à raiz r=0 (termo constante) e C_{2}e^{-4x} ao modo associado a r=-4.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients), que funciona bem quando o membro direito é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou soma deles.
Regra prática importante (resonância): se alguma parte do ensaio para y_{p} já é solução da homogênea, é preciso multiplicar o ensaio por x^{m}, onde m é a multiplicidade da raiz correspondente. No nosso caso o membro direito é o polinômio \;x^{2}-1\; (grau 2). O ensaio natural seria um polinômio de grau 2:
y_{p,\text{naive}} = ax^{2}+bx+c.
Porém a homogênea já contém uma função constante (porque r=0 é raiz), ou seja, o termo constante conflita com c. Isso implica multiplicar o ensaio por x (multiplicidade m=1 da raiz r=0). Portanto o ensaio correto é
y_{p}(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x.
Essa é a forma que vamos usar e vamos determinar a,b,c.
Passo 4
Calculemos as derivadas de y_{p}. Usando derivação termo a termo:
y_{p}(x) = a x^{3} + b x^{2} + c x,
y_{p}'(x) = 3a x^{2} + 2b x + c,
y_{p}''(x) = 6a x + 2b.
Expliquei: derivei a x^{3} como 3a x^{2}, b x^{2} como 2b x e c x como c; a segunda derivada de 3a x^{2} é 6a x e de 2b x é 2b.
Passo 5
Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial y''+4y' = x^{2}-1. Fazendo a soma:
y_{p}'' + 4y_{p}' = (6a x + 2b) + 4(3a x^{2} + 2b x + c).
Expanda e agrupe termos por potências de x:
y_{p}'' + 4y_{p}' = 6a x + 2b + 12a x^{2} + 8b x + 4c.
Igualamos coeficientes de cada potência em y_{p}''+4y_{p}'\) com os coeficientes correspondentes do membro direito \(\;x^{2}-1\;\), que pode ser visto como
\[x^{2} - 1 = 1\cdot x^{2} + 0\cdot x + (-1).
Verificação rápida mental: ao substituir essas frações nas expressões anteriores, os coeficientes se alinham para produzir x^{2}-1; os cálculos acima mostram a consistência.
Passo 8
A solução geral da equação é a soma da solução complementar com a particular: