Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-7 y^{\prime}+12 y=-e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''-7y'+12y = -e^{4x}.
O que temos de informação relevante:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçamento) é -e^{4x}, uma exponencial.
  • A solução geral será a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Escolha do método: para EDOs lineares com coeficientes constantes e lado direito que é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, o método prático é o método dos coeficientes a determinar (método das soluções particulares por tentativa). Primeiro resolvemos a homogênea associada e depois procuramos uma particular. Observação importante (ressonância): se a exponencial do lado direito corresponder a uma raiz da equação característica da homogênea, a tentativa deve ser multiplicada por potências de x para obter uma forma independente da solução homogênea.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada
y''-7y'+12y=0.
Assume-se solução do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-7r+12=0.
Resolvendo:
r^2-7r+12=(r-3)(r-4)=0,
logo as raízes são r=3 e r=4 (raízes reais e distintas). Portanto a solução complementar (homogênea) é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolher a forma da solução particular y_p para o lado direito -e^{4x}.
  • Se tentássemos y_p = A e^{4x}, isso coincide com um termo da solução homogênea porque e^{4x} corresponde à raiz r=4. Há ressonância de ordem 1 (multiplicidade 1 da raiz).
  • Para contornar isso multiplicamos por x. Assim a forma correta a testar é
y_p = A x e^{4x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p. Usamos a regra do produto e a derivada de e^{4x} que é 4e^{4x}.
Primeira derivada:
y_p' = A\frac{d}{dx}\big(x e^{4x}\big) = A\big(1\cdot e^{4x} + x\cdot 4e^{4x}\big) = A e^{4x}(1+4x).

Passo 6

Segunda derivada: derivar y_p' = A e^{4x}(1+4x).
y_p'' = A\left[ \frac{d}{dx}(1+4x)\cdot e^{4x} + (1+4x)\cdot \frac{d}{dx}(e^{4x}) \right] = A\big(4 e^{4x} + (1+4x)\cdot 4 e^{4x}\big).
Fatorando A e^{4x}:
y_p'' = A e^{4x}\big(4 + 4(1+4x)\big) = A e^{4x}\big(4 + 4 +16x\big) = A e^{4x}(8+16x).

Passo 7

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial à esquerda y''-7y'+12y e igualar ao lado direito -e^{4x}.
Calcule a combinação:
y_p''-7y_p'+12y_p = A e^{4x}(8+16x) -7\big(A e^{4x}(1+4x)\big) +12\big(A x e^{4x}\big).
Fatorando A e^{4x}:
= A e^{4x}\big(8+16x -7(1+4x) +12x\big).
Desenvolvendo o parêntese:
8+16x -7 -28x +12x = (8-7) + (16x-28x+12x) = 1 + 0\cdot x = 1.
Portanto
y_p''-7y_p'+12y_p = A e^{4x}\cdot 1 = A e^{4x}.
Queremos que isso seja igual a -e^{4x}. Assim
A e^{4x} = -e^{4x} \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Logo a solução particular é
y_p = -x e^{4x}.

Passo 8

Resumo do que já foi obtido:
  • Solução complementar: y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x}.
  • Solução particular: y_p = -x e^{4x}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{4x}-x e^{4x}

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