Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
O que temos de informação relevante:
- A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (forçamento) é
, uma exponencial. - A solução geral será a soma da solução complementar (homogênea) e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Escolha do método: para EDOs lineares com coeficientes constantes e lado direito que é combinação de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, o método prático é o método dos coeficientes a determinar (método das soluções particulares por tentativa). Primeiro resolvemos a homogênea associada e depois procuramos uma particular. Observação importante (ressonância): se a exponencial do lado direito corresponder a uma raiz da equação característica da homogênea, a tentativa deve ser multiplicada por potências de
para obter uma forma independente da solução homogênea.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada
Assume-se solução do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo:
logo as raízes são
e
(raízes reais e distintas). Portanto a solução complementar (homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolher a forma da solução particular
para o lado direito
.
- Se tentássemos
, isso coincide com um termo da solução homogênea porque corresponde à raiz . Há ressonância de ordem 1 (multiplicidade 1 da raiz). - Para contornar isso multiplicamos por
. Assim a forma correta a testar é
onde
é uma constante a determinar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
. Usamos a regra do produto e a derivada de
que é
.
Primeira derivada:
Passo 6
Segunda derivada: derivar
.
Fatorando
:
Passo 7
Substituir
,
e
na equação diferencial à esquerda
e igualar ao lado direito
.
Calcule a combinação:
Fatorando
:
Desenvolvendo o parêntese:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
. Assim
Logo a solução particular é
Passo 8
Resumo do que já foi obtido:
- Solução complementar:
. - Solução particular:
.