Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''+y'-6y = x e^{2x}.
Informações dadas:
  • É uma EDO linear não homogênea de 2ª ordem.
  • O termo não homogêneo é x e^{2x} (um polinômio de grau 1 multiplicado por e^{2x}).
  • Devemos encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+y'-6y=0.
Explicação da técnica: para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica para r. Isso transforma a EDO em uma equação algébrica cuja(s) raiz(es) determinam as soluções exponenciais.
Formamos a equação característica:
r^2 + r - 6 = 0.
Resolva-a (fatorando):
r^2 + r - 6 = (r-2)(r+3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=-3.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um ansatz (chute) para a solução particular y_p.
Explicação da técnica: quando o termo não homogêneo tem a forma P(x)e^{\alpha x} (onde P é polinômio), tentamos uma solução particular do tipo x^s e^{\alpha x} Q(x), em que Q(x) é um polinômio do mesmo grau que P, e s é o multiplicador igual à multiplicidade da raiz \alpha na equação característica. Aqui \alpha=2 e a raiz r=2 aparece como raiz simples (multiplicidade 1), então s=1.
O termo não homogêneo é x e^{2x}, com P(x)=x (grau 1). Logo escolhemos
y_p(x) = x e^{2x}\big(Ax + B\big) = e^{2x}\big(Ax^2 + Bx\big),
onde A e B são constantes desconhecidas a determinar. (Escrevi a forma multiplicada por x por causa da raiz repetida na homogênea.)

Passo 4

Calcular y_p' e y_p''. Vamos definir u(x)=Ax^2+Bx para facilitar. Temos y_p=e^{2x}u(x).
Derivada primeira:
y_p' = (e^{2x})'u + e^{2x}u' = 2e^{2x}u + e^{2x}u' = e^{2x}\big(2u + u'\big).
Como u'(x)=2Ax+B, substituindo:
y_p' = e^{2x}\big(2(Ax^2+Bx) + (2Ax+B)\big) = e^{2x}\big(2A x^2 + (2B+2A)x + B\big).
Derivada segunda:
y_p'' = (e^{2x})'\big(2u+u'\big) + e^{2x}\big(2u+u'\big)' = 2e^{2x}(2u+u') + e^{2x}(2u'+u'').
Para manter clareza, computamos v(x)=2u+u'. Já temos v(x)=2A x^2 + (2B+2A)x + B. Então
v'(x)=4Ax + (2B+2A),
e
y_p'' = e^{2x}\big(2v + v'\big).
Agora calcule 2v+v':
2v = 4A x^2 + (4B+4A)x + 2B,
v' = 4A x + (2B+2A),
2v+v' = 4A x^2 + (4B+4A + 4A)x + (2B + 2B + 2A).
Organizando:
2v+v' = 4A x^2 + (4B+8A)x + (4B+2A).
Portanto
y_p'' = e^{2x}\big(4A x^2 + (4B+8A)x + (4B+2A)\big).

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e igualar coeficientes.
A equação é y''+y'-6y = x e^{2x}. Substituindo os termos (todos têm fator e^{2x}), obtemos
e^{2x}\Big[\big(4A x^2 + (4B+8A)x + (4B+2A)\big) + \big(2A x^2 + (2B+2A)x + B\big) -6\big(A x^2 + B x\big)\Big] = x e^{2x}.
Somando os polinômios dentro dos colchetes e organizando por potências de x:
Coeficiente de x^2:
4A + 2A - 6A = 0.
Coeficiente de x:
(4B+8A) + (2B+2A) - 6B = 10A.
Termo constante:
(4B+2A) + B = 5B + 2A.
Logo o lado esquerdo vale
e^{2x}\big(10A \, x + (5B+2A)\big).
Isto deve ser igual a x e^{2x}, ou seja
e^{2x}\big(10A \, x + (5B+2A)\big) = e^{2x}\big(1\cdot x + 0\big).
Como e^{2x} não é zero, igualamos coeficientes de x e do termo constante:
10A = 1, \qquad 5B + 2A = 0.

Passo 6

Resolver o sistema para A e B.
Da primeira equação
A = \frac{1}{10}.
Substituindo na segunda:
5B + 2\cdot\frac{1}{10} = 0 \quad\Rightarrow\quad 5B + \frac{1}{5} = 0.
Logo
5B = -\frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{1}{25}.

Passo 7

Escrever a solução particular com os valores encontrados:
y_p(x) = e^{2x}\Big(Ax^2 + Bx\Big) = e^{2x}\Big(\frac{1}{10}x^2 - \frac{1}{25}x\Big).
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} + e^{2x}\Big(\frac{1}{10}x^2 - \frac{1}{25}x\Big).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-3x}+e^{2x}\Big(\dfrac{1}{10}x^{2}-\dfrac{1}{25}x\Big)

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