Questão 8. Resolva as seguintes EDO’s lineares de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
Informações dadas:
- É uma EDO linear não homogênea de 2ª ordem.
- O termo não homogêneo é
(um polinômio de grau 1 multiplicado por ). - Devemos encontrar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Explicação da técnica: para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica para
. Isso transforma a EDO em uma equação algébrica cuja(s) raiz(es) determinam as soluções exponenciais.
Formamos a equação característica:
Resolva-a (fatorando):
portanto as raízes são
e
.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um ansatz (chute) para a solução particular
.
Explicação da técnica: quando o termo não homogêneo tem a forma
(onde
é polinômio), tentamos uma solução particular do tipo
, em que
é um polinômio do mesmo grau que
, e
é o multiplicador igual à multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui
e a raiz
aparece como raiz simples (multiplicidade 1), então
.
O termo não homogêneo é
, com
(grau 1). Logo escolhemos
onde
e
são constantes desconhecidas a determinar. (Escrevi a forma multiplicada por
por causa da raiz repetida na homogênea.)
Passo 4
Calcular
e
. Vamos definir
para facilitar. Temos
.
Derivada primeira:
Como
, substituindo:
Derivada segunda:
Para manter clareza, computamos
. Já temos
. Então
e
Agora calcule
:
Organizando:
Portanto
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e igualar coeficientes.
A equação é
. Substituindo os termos (todos têm fator
), obtemos
Somando os polinômios dentro dos colchetes e organizando por potências de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Logo o lado esquerdo vale
Isto deve ser igual a
, ou seja
Como
não é zero, igualamos coeficientes de
e do termo constante:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação
Substituindo na segunda:
Logo
Passo 7
Escrever a solução particular com os valores encontrados:
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular: