• Questão 6. Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valores iniciais.
    (b)
    y{\prime}=x{3}(1-y), \quad y(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = x^3,(1 - y), y(0)=3
Esse é uma equação diferencial de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
,y' + P(x),y = Q(x), e usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação,
y' = x^3 - x^3,y Longrightarrow y' + x^3,y = x^3
Aqui identificamos P(x)=x^3 e Q(x)=x^3.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral x^3,dxr) = expl(tfracx^44r)

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x), obtemos
expl(tfracx^44r),y' + x^3expl(tfracx^44r),y = x^3expl(tfracx^44r)
O lado esquerdo é exatamente a derivada de expl(x^4/4r),y, ou seja,
ddxl[y,expl(tfracx^44r)r] = x^3expl(tfracx^44r)

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y,expl(tfracx^44r) = integral x^3expl(tfracx^44r),dx + C
Fazendo a substituição t = tfracx^44, temos dt = x^3,dx, então
integral x^3expl(tfracx^44r),dx = integral e^t,dt = e^t = expl(tfracx^44r)
Logo
y,expl(tfracx^44r) = expl(tfracx^44r) + C

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = 1 + C,expl(-tfracx^44r)

Passo 7

Impondo a condição inicial y(0)=3, temos
3 = 1 + C,exp(0) Longrightarrow C = 2
Portanto, a solução particular é
y(x) = 1 + 2,expl(-tfracx^44r)

Resposta

y(x) = 1 + 2,expl(-tfracx^44r)

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