- Questão 6. Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valores iniciais.
(b)
y{\prime}=x{3}(1-y), \quad y(0)=3
(b)
y{\prime}=x{3}(1-y), \quad y(0)=3
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Esse é uma equação diferencial de primeira ordem e linear em
. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
e usar fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo a equação,
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
O fator integrante
é dado por
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, ou seja,
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, então
Logo
Passo 6
Isolando
, obtemos a solução geral
Passo 7
Impondo a condição inicial
, temos
Portanto, a solução particular é