Questão 3. Resolva as seguintes integrais.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,\sin^{4}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos x\,\sin^{4}x.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{2}.
    A tarefa é calcular exatamente esse valor numérico.

Passo 2

Estratégia (sem executar ainda): observar que a derivada de \sin x é \cos x. Isso sugere a substituição de variável u=\sin x, porque então du=\cos x\,dx e a parte \cos x\,dx da integranda se transforma diretamente em du. Vou aplicar essa substituição e também transformar os limites de integração para u.

Passo 3

Faço a substituição u=\sin x. Então
du=\cos x\,dx.
Quando x=0 tem-se u=\sin 0=0. Quando x=\dfrac{\pi}{2} tem-se u=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto a integral definida fica
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,\sin^{4}x\,dx = \int_{0}^{1} u^{4}\,du.

Passo 4

Calculo a integral em u. A primitiva de u^{4} é \dfrac{u^{5}}{5}. Avaliando de 0 a 1,
\int_{0}^{1} u^{4}\,du = \left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{5}}{5}-\frac{0^{5}}{5} = \frac{1}{5}.

Passo 5

Comentário didático e dica para a prova: sempre que aparecer uma integral do tipo \cos x\,\sin^{n}x (ou \sin x\,\cos^{n}x), vale checar se a derivada de uma das funções aparece multiplicando a outra — aí a substituição u=\sin x (ou u=\cos x) transforma a integral em um polinômio em u. No caso indefinido,
\int \cos x\,\sin^{4}x\,dx = \frac{\sin^{5}x}{5}+C,
e a integral definida foi simplesmente a avaliação dessa primitiva entre 0 e \dfrac{\pi}{2}. Vai dar tudo certo — coragem!

Resposta

\dfrac{1}{5}

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