Questão 3. Resolva as seguintes integrais. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \sin ^{4} x d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,\sin^{4}x\,dx.
Informações dadas:
A função integranda é \cos x\,\sin^{4}x.
Os limites de integração são x=0 e x=\dfrac{\pi}{2}.
A tarefa é calcular exatamente esse valor numérico.
Passo 2
Estratégia (sem executar ainda): observar que a derivada de \sin x é \cos x. Isso sugere a substituição de variável u=\sin x, porque então du=\cos x\,dx e a parte \cos x\,dx da integranda se transforma diretamente em du. Vou aplicar essa substituição e também transformar os limites de integração para u.
Passo 3
Faço a substituição u=\sin x. Então
du=\cos x\,dx.
Quando x=0 tem-se u=\sin 0=0. Quando x=\dfrac{\pi}{2} tem-se u=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto a integral definida fica
Comentário didático e dica para a prova: sempre que aparecer uma integral do tipo \cos x\,\sin^{n}x (ou \sin x\,\cos^{n}x), vale checar se a derivada de uma das funções aparece multiplicando a outra — aí a substituição u=\sin x (ou u=\cos x) transforma a integral em um polinômio em u. No caso indefinido,