Resolva o problema de valor de contorno, se possível.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor de contorno
O que se pede é encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial acima em todos os
e, ao mesmo tempo, obedeça às condições de contorno
e
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
- a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
; - as duas condições de contorno:
e .
Passo 2
Como é uma equação linear com coeficientes constantes e homogênea, o método padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica (um polinômio em
); as raízes dessa equação determinam a forma geral da solução. Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo
na equação
obtemos a equação característica
Dividindo por
fica
Calculo o discriminante para identificar as raízes:
Como
, as raízes são complexas conjugadas.
Passo 4
As raízes da quadrática são
Para raízes complexas
a forma geral da solução real é
onde
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
.
Passo 5
Portanto a solução geral do problema diferencial é
Passo 6
Agora imponho a primeira condição de contorno
. Substituindo
na expressão acima,
Como
, segue que
Passo 7
Imponho a segunda condição
. Substituo
na solução com
:
Simplificando
e
, obtemos
A condição
implica
Como
, isso reduz-se a
Passo 8
Resolvo a equação para
. Isolando
,
É importante verificar que
. Numericamente
, que não é múltiplo de
, então
e a divisão é válida. Assim
está bem definido e o sistema de condições leva a uma única escolha de
e
.
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as duas condições de contorno:
Podemos fatorar
se quisermos:
Esta é a solução única do problema de valor de contorno dado.