Resolva o problema de valor de contorno, se possível.
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+20 y=0, \quad y(0)=4, y(2)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor de contorno
4 y''-4 y' +20 y = 0, \qquad y(0)=4,\qquad y(2)=0.
O que se pede é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial acima em todos os x e, ao mesmo tempo, obedeça às condições de contorno y(0)=4 e y(2)=0.
As informações relevantes são:
  • a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: 4 y''-4 y' +20 y = 0;
  • as duas condições de contorno: y(0)=4 e y(2)=0.

Passo 2

Como é uma equação linear com coeficientes constantes e homogênea, o método padrão é procurar soluções da forma y(x)=e^{r x}. Substituindo essa forma na equação obtém-se a equação característica (um polinômio em r); as raízes dessa equação determinam a forma geral da solução. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} na equação 4 y''-4 y' +20 y = 0 obtemos a equação característica
4 r^2 -4 r +20 = 0.
Dividindo por 4 fica
r^2 - r +5 = 0.
Calculo o discriminante para identificar as raízes:
\Delta = (-1)^2 -4\cdot 1\cdot 5 = 1-20 = -19.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes da quadrática são
r = \frac{1 \pm i\sqrt{19}}{2}.
Para raízes complexas r=\alpha\pm i\beta a forma geral da solução real é
y(x) = e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big),
onde C_1,C_2 são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha=\dfrac{1}{2} e \beta=\dfrac{\sqrt{19}}{2}.

Passo 5

Portanto a solução geral do problema diferencial é
y(x) = e^{\tfrac{x}{2}}\Big(C_1\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big)\Big).

Passo 6

Agora imponho a primeira condição de contorno y(0)=4. Substituindo x=0 na expressão acima,
y(0) = e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big) = C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 = C_1.
Como y(0)=4, segue que
C_1 = 4.

Passo 7

Imponho a segunda condição y(2)=0. Substituo x=2 na solução com C_1=4:
y(2)= e^{\tfrac{2}{2}}\Big(4\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}\cdot 2\big)+C_2\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}\cdot 2\big)\Big).
Simplificando \tfrac{2}{2}=1 e \tfrac{\sqrt{19}}{2}\cdot 2=\sqrt{19}, obtemos
y(2)= e^{1}\Big(4\cos(\sqrt{19}) + C_2\sin(\sqrt{19})\Big).
A condição y(2)=0 implica
e^{1}\Big(4\cos(\sqrt{19}) + C_2\sin(\sqrt{19})\Big)=0.
Como e^{1}\neq 0, isso reduz-se a
4\cos(\sqrt{19}) + C_2\sin(\sqrt{19}) = 0.

Passo 8

Resolvo a equação para C_2. Isolando C_2,
C_2\sin(\sqrt{19}) = -4\cos(\sqrt{19}) \quad\Rightarrow\quad C_2 = -4\,\frac{\cos(\sqrt{19})}{\sin(\sqrt{19})} = -4\cot(\sqrt{19}).
É importante verificar que \sin(\sqrt{19})\neq 0. Numericamente \sqrt{19}\approx 4{,}3589, que não é múltiplo de \pi, então \sin(\sqrt{19})\neq 0 e a divisão é válida. Assim C_2 está bem definido e o sistema de condições leva a uma única escolha de C_1 e C_2.

Passo 9

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as duas condições de contorno:
y(x)= e^{\tfrac{x}{2}}\Big(4\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big) -4\cot(\sqrt{19})\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big)\Big).
Podemos fatorar 4e^{x/2} se quisermos:
y(x)=4 e^{\tfrac{x}{2}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big) -\cot(\sqrt{19})\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big)\Big).
Esta é a solução única do problema de valor de contorno dado.

Resposta

y(x)=4 e^{\tfrac{x}{2}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big) -\cot(\sqrt{19})\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{19}}{2}x\big)\Big).

Exercícios relacionados