Questão 2. Calcule os limites usando a Regra de L’Hopital.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite (usando a Regra de L’Hôpital):
Informações dadas:
- A função cujo limite devemos calcular é
. - O ponto de interesse é
. - O enunciado explicitamente pede para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir
:
- O numerador
tende a quando . - O denominador
também tende a quando .
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, que é um caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis, o que é verdadeiro para polinômios).
Passo 3
Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão usada aqui): se
e
são diferenciáveis para
perto de um ponto (ou para
grande, no caso
) e
(ou
), então, se o limite existe,
Aqui
e
. Ambos são diferenciáveis em todo
, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (explicando passo a passo):
- Para o numerador use a regra da cadeia. Seja
. Então .
A derivada deé .
Aqui, portanto Observação: . - Para o denominador,
Aplicando L’Hôpital obtemos
Passo 5
Simplificar a expressão resultante e calcular o limite:
Primeiro simplificamos um fator :
Primeiro simplificamos um fator
Dividindo cada termo por
,
Agora fazemos
: o termo
tende a
, logo
Passo 6
Breve comentário útil para a prova (modo alternativo, sem L’Hôpital): expandindo o numerador e dividindo por
,
e ao fazer
os termos
e
vão a
, resultando em
. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.