Questão 2. Calcule os limites usando a Regra de L’Hopital.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(2 x+1)^{2}}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite (usando a Regra de L’Hôpital):
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(2x+1)^{2}}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função cujo limite devemos calcular é \dfrac{(2x+1)^{2}}{x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x \to \infty.
  • O enunciado explicitamente pede para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir x\to\infty:
  • O numerador (2x+1)^{2} tende a \infty quando x\to\infty.
  • O denominador x^{2} também tende a \infty quando x\to\infty.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{\infty}{\infty}, que é um caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis, o que é verdadeiro para polinômios).

Passo 3

Enunciado da Regra de L’Hôpital (versão usada aqui): se f(x) e g(x) são diferenciáveis para x perto de um ponto (ou para x grande, no caso x\to\infty) e \lim f(x)=\lim g(x)=\infty (ou 0), então, se o limite existe,
\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=(2x+1)^{2} e g(x)=x^{2}. Ambos são diferenciáveis em todo \mathbb{R}, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (explicando passo a passo):
  • Para o numerador use a regra da cadeia. Seja u(x)=2x+1. Então (2x+1)^{2} = u(x)^{2}.
    A derivada de u(x)^{2} é 2u(x)\cdot u'(x).
    Aqui u'(x)=2, portanto \frac{d}{dx}\big((2x+1)^{2}\big) = 2(2x+1)\cdot 2 = 4(2x+1).Observação: 4(2x+1)=8x+4.
  • Para o denominador, \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x.
Aplicando L’Hôpital obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{(2x+1)^{2}}{x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{4(2x+1)}{2x}.

Passo 5

Simplificar a expressão resultante e calcular o limite:
Primeiro simplificamos um fator 2:
\frac{4(2x+1)}{2x} = \frac{2(2x+1)}{x} = \frac{4x+2}{x}.
Dividindo cada termo por x,
\frac{4x+2}{x} = 4 + \frac{2}{x}.
Agora fazemos x\to\infty: o termo \dfrac{2}{x} tende a 0, logo
\lim_{x\to\infty}\left(4 + \frac{2}{x}\right) = 4.

Passo 6

Breve comentário útil para a prova (modo alternativo, sem L’Hôpital): expandindo o numerador e dividindo por x^{2},
\frac{(2x+1)^{2}}{x^{2}} = \frac{4x^{2}+4x+1}{x^{2}} = 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}},
e ao fazer x\to\infty os termos \dfrac{4}{x} e \dfrac{1}{x^{2}} vão a 0, resultando em 4. Isso confirma o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

4

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