Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando t infty:
ly prime prime+y prime-2 y=0 y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares homogêneas e valores próprios para encontrar a solução geral. Precisamos determinar a solução da equação com as condições iniciais e , e também ver como essa solução se comporta quando vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea y' = r e^rt . Para isso, assumimos uma solução da forma y'' = r^2 e^rt , onde r^2 e^rt + r e^rt - 2 e^rt = 0 é um número que precisamos encontrar. Derivando essa solução, temos:
r^2 + r - 2 = 0
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os valores de r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r1 = -1 + 32 = 1
Aqui, r2 = -1 - 32 = -2 , e :
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-2t e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 1 = C1 e^0 + C2 e^0 Rightarrow 1 = C1 + C2 e y'(t) = C1 e^t - 2 C2 e^-2t .
Primeiro, com 1 = C1 - 2 C2 :
Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 C1 - 2 C2 = 1
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 1 - 1 Rightarrow -3 C2 = 0 Rightarrow C2 = 0
Substituindo C1 + 0 = 1 Rightarrow C1 = 1 na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de y(t) = 1 cdot e^t + 0 cdot e^-2t = e^t e encontrados, a soluç��o particular é:

Passo 8

Finalmente, vamos analisar o comportamento da solução quando limt to infty y(t) = limt to infty e^t = infty . A função cresce exponencialmente à medida que aumenta. Portanto:

Resposta

A solução do problema é , e quando tende ao infinito, cresce exponencialmente sem limites, isto é, .

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