Questão 4. Resolva os seguintes problemas de valor inicial e determine o comportamento da solução quando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares homogêneas e valores próprios para encontrar a solução geral. Precisamos determinar a solução da equação
com as condições iniciais
e
, e também ver como essa solução se comporta quando
vai para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Para isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos encontrar. Derivando essa solução, temos:
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a soluç��o particular é:
Passo 8
Finalmente, vamos analisar o comportamento da solução quando
. A função
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Portanto:
Resposta
A solução do problema é
, e quando
tende ao infinito,
cresce exponencialmente sem limites, isto é,
.