Questão 3 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}2 x y^{\prime}-y=6 x \y(4)=20\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} 2x\,y'(x)-y(x)=6x,\\[4pt] y(4)=20. \end{array}\right.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y', a derivada de y em relação a x.
  • A condição inicial fixa o valor de y em x=4.
  • A equação contém um fator 2x multiplicando y', então a equação está bem definida para x\neq0. Como a condição inicial é em x=4>0, vamos trabalhar no intervalo x>0.
    O objetivo: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a equação em forma padrão para uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por 2x (válido porque x\neq0):
y'(x)-\frac{1}{2x}\,y(x)=3.
Aqui escrevemos a equação no formato
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
onde, comparando, temos
p(x)=-\frac{1}{2x},\qquad q(x)=3.

Passo 3

Explicando o método que vamos usar (integrating factor), de forma bem didática:
  • Quando uma equação tem a forma y'+p(x)y=q(x), existe um fator multiplicativo chamado fator integrante (integrating factor) \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y(x).
  • A fórmula para \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui \exp é a função exponencial e \int p(x)\,dx é uma antiderivada de p(x).
  • A ideia prática: calcular \mu(x), multiplicar a equação, reconhecer (\mu y)' e integrar ambos os lados, obtendo \mu y= antiderivada + constante, e então isolar y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos p(x)=-\dfrac{1}{2x}, então
\int p(x)\,dx=\int -\frac{1}{2x}\,dx=-\frac{1}{2}\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\left(-\frac{1}{2}\ln|x|\right).
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais,
\mu(x)=|x|^{-1/2}.
Como estamos trabalhando com x>0 (condição inicial em x=4), podemos retirar o valor absoluto:
\mu(x)=x^{-1/2}.

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-1/2}. Fazendo isso:
x^{-1/2}y'(x)-\frac{1}{2}x^{-3/2}y(x)=3x^{-1/2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)y(x). Para ver explicitamente:
\frac{d}{dx}\big(x^{-1/2}y(x)\big)=x^{-1/2}y'(x)+\big(x^{-1/2}\big)'\,y(x) = x^{-1/2}y'(x)-\frac{1}{2}x^{-3/2}y(x).
Portanto podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{-1/2}y(x)\big)=3x^{-1/2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-1/2}y(x)\big)\,dx=\int 3x^{-1/2}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente x^{-1/2}y(x). A integral do lado direito é:
\int 3x^{-1/2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=3\cdot 2x^{1/2}=6x^{1/2}.
Adicionando a constante de integração C, obtemos
x^{-1/2}y(x)=6x^{1/2}+C.
Multiplicando ambos os lados por x^{1/2} para isolar y(x):
y(x)=6x + C x^{1/2}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(4)=20 para determinar C. Calculando:
y(4)=6\cdot 4 + C\cdot 4^{1/2}=24 + C\cdot 2.
Igualando a 20:
24 + 2C = 20 \quad\Rightarrow\quad 2C=-4 \quad\Rightarrow\quad C=-2.
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=6x - 2x^{1/2}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): calcular y'(x) e checar a equação original.
Derivando y(x)=6x-2x^{1/2}:
y'(x)=6 -2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=6 - x^{-1/2}.
Agora verificar 2x y'(x)-y(x):
2x(6 - x^{-1/2}) - (6x - 2x^{1/2}) =12x -2x^{1/2} -6x +2x^{1/2} =6x.
Isso confirma que a solução satisfaz a equação diferencial. Além disso y(4)=6\cdot4-2\cdot2=24-4=20, então a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

y(x)=6x-2\sqrt{x},\quad x>0

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