Questão 3 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
, a derivada de em relação a . - A condição inicial fixa o valor de
em . - A equação contém um fator
multiplicando , então a equação está bem definida para . Como a condição inicial é em , vamos trabalhar no intervalo .
O objetivo: encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.]
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a equação em forma padrão para uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido porque
):
Aqui escrevemos a equação no formato
onde, comparando, temos
Passo 3
Explicando o método que vamos usar (integrating factor), de forma bem didática:
- Quando uma equação tem a forma
, existe um fator multiplicativo chamado fator integrante (integrating factor) tal que, ao multiplicar a equação por , o lado esquerdo se torna a derivada do produto . - A fórmula para
é
Aqui
é a função exponencial e
é uma antiderivada de
.
- A ideia prática: calcular
, multiplicar a equação, reconhecer e integrar ambos os lados, obtendo antiderivada constante, e então isolar .
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
, então
Portanto
Usando propriedades dos logaritmos e exponenciais,
Como estamos trabalhando com
(condição inicial em
), podemos retirar o valor absoluto:
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. Fazendo isso:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver explicitamente:
Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é:
Adicionando a constante de integração
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Calculando:
Igualando a
:
Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): calcular
e checar a equação original.
Derivando :
Derivando
Agora verificar
:
Isso confirma que a solução satisfaz a equação diferencial. Além disso
, então a condição inicial também é satisfeita.