Questão 8 - Um tanque com capacidade de 400 L contém inicialmente uma mistura com concentração de 0,05 \mathrm{~g} / \mathrm{L} de cloro. Água pura entra no tanque a uma taxa de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e a mistura homogênea sai a uma taxa de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.
a) Formule a equação diferencial para a quantidade de cloro no tanque.
b) Determine a quantidade de cloro em função do tempo.
c) Em que instante o tanque ficará vazio?
d) Determine a concentração de cloro imediatamente antes do tanque esvaziar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados:
    • Capacidade inicial do tanque: 400\\ \mathrm{L}.
    • Concentração inicial de cloro: 0,05\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
    • Água pura entra a 4\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.
    • Mistura homogênea sai a 10\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Formular a equação diferencial para a quantidade de cloro no tanque (quantidade em gramas, função do tempo).
    b) Determinar a quantidade de cloro em função do tempo.
    c) Em que instante o tanque ficará vazio (tempo em segundos).
    d) Determinar a concentração de cloro imediatamente antes do tanque esvaziar (em \mathrm{g}/\mathrm{L}).

Passo 2

Modelagem (explicando passo a passo como montar a equação diferencial).
  • Defino A(t) como a quantidade de cloro no tanque, em gramas, no instante t (com t em segundos).
  • Defino V(t) como o volume de líquido no tanque no instante t, em litros.
Volume: a entrada é 4\\ \mathrm{L}/\mathrm{s} e a saída é 10\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}, logo o volume diminui a uma taxa líquida de 10-4=6\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}. Como começou com 400\\ \mathrm{L},
V(t)=400-6t.
Isto vale até o tanque esvaziar (quando V(t)=0).
Taxas de variação da quantidade A(t): a regra padrão de misturas diz:
\frac{dA}{dt}=\text{taxa de entrada de cloro} - \text{taxa de saída de cloro}.í
Aqui a água de entrada é pura, então a taxa de entrada de cloro é 0. A taxa de saída de cloro é a concentração no tanque multiplicada pela vazão de saída. A concentração no tanque é \dfrac{A(t)}{V(t)} (gramas por litro), e a vazão de saída é 10\\ \mathrm{L}/\mathrm{s}. Assim,
\frac{dA}{dt} = -10\cdot\frac{A(t)}{V(t)} = -10\cdot\frac{A(t)}{400-6t}.
Condição inicial: concentração inicial \,0,05\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} e volume inicial 400\\ \mathrm{L} implicam
A(0)=400\times 0,05 = 20\\ \mathrm{g}.
Portanto a equação diferencial com condição inicial fica:
\frac{dA}{dt} = -\frac{10\,A(t)}{400-6t},\qquad A(0)=20.

Passo 3

Solução da equação diferencial (resolvendo passo a passo e explicando as operações).
A equação é separável (podemos colocar os termos em A num lado e os termos em t no outro). Reescrevo:
\frac{1}{A}\,dA = -\frac{10}{400-6t}\,dt.
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é \int \dfrac{1}{A}\,dA = \ln|A| + C_1. Para o lado direito faço substituição: seja u=400-6t, então du=-6\,dt e dt=-\dfrac{du}{6}. Assim
\int -\frac{10}{400-6t}\,dt = -10\int \frac{1}{u}\left(-\frac{du}{6}\right) = \frac{10}{6}\int\frac{du}{u} = \frac{5}{3}\ln|u| + C_2.
Juntando constantes ( C geral), obtemos
\ln|A| = \frac{5}{3}\ln(400-6t) + C.
Exponenciando:
A(t)=C'\,(400-6t)^{5/3},
onde C'=e^{C} é uma constante positiva. Uso a condição inicial A(0)=20:
20 = C'\,400^{5/3}\quad\Rightarrow\quad C'=\frac{20}{400^{5/3}}.
Portanto uma forma conveniente de escrever A(t) é fatorando por 400^{5/3}:
A(t)=20\left(\frac{400-6t}{400}\right)^{5/3}.
Posso também simplificar a fração 6/400=3/200, obtendo a forma
A(t)=20\left(1-\frac{3t}{200}\right)^{5/3},\qquad 0\le t<\frac{200}{3}.
(Coloquei o domínio porque a fórmula só faz sentido enquanto V(t)=400-6t>0.)

Passo 4

Instante em que o tanque fica vazio.
O tanque esvazia quando V(t)=0, ou seja
400-6t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{400}{6}=\frac{200}{3}\\ \text{s}.
Numericamente isso é t\approx 66,666\ldots\\ \text{s}.

Passo 5

Concentração imediatamente antes do tanque esvaziar.
A concentração no tanque em qualquer instante é
c(t)=\frac{A(t)}{V(t)}=\frac{A(t)}{400-6t}.
Usando a expressão encontrada para A(t),
c(t)=\frac{20\left(\dfrac{400-6t}{400}\right)^{5/3}}{400-6t} =20\cdot\frac{1}{400}\left(\frac{400-6t}{400}\right)^{2/3}.
Como 20/400=0,05, isso fica
c(t)=0,05\left(\frac{400-6t}{400}\right)^{2/3}.
Agora calculo o limite quando t\to\left(\dfrac{200}{3}\right)^- (imediatamente antes de esvaziar): o fator \dfrac{400-6t}{400} vai para 0, e como está elevado a \tfrac{2}{3}>0, o produto vai para 0. Logo a concentração imediatamente antes do tanque esvaziar é
c\left(\left(\frac{200}{3}\right)^-\right)=0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{dA}{dt}=-\frac{10\,A(t)}{400-6t},\quad A(0)=20.
b) \displaystyle A(t)=20\left(\frac{400-6t}{400}\right)^{5/3}=20\left(1-\frac{3t}{200}\right)^{5/3},\quad 0\le t<\frac{200}{3}.
c) \displaystyle t=\frac{200}{3}\\ \text{s}\approx 66{,}666\ldots\\ \text{s}.
d) \displaystyle c\bigl((200/3)^-\bigr)=0\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.

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