Questão 8 - Um tanque com capacidade de 400 L contém inicialmente uma mistura com concentração de
de cloro. Água pura entra no tanque a uma taxa de
e a mistura homogênea sai a uma taxa de
.
a) Formule a equação diferencial para a quantidade de cloro no tanque.
b) Determine a quantidade de cloro em função do tempo.
c) Em que instante o tanque ficará vazio?
d) Determine a concentração de cloro imediatamente antes do tanque esvaziar.
a) Formule a equação diferencial para a quantidade de cloro no tanque.
b) Determine a quantidade de cloro em função do tempo.
c) Em que instante o tanque ficará vazio?
d) Determine a concentração de cloro imediatamente antes do tanque esvaziar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
-
Dados:
- Capacidade inicial do tanque:
. - Concentração inicial de cloro:
. - Água pura entra a
. - Mistura homogênea sai a
.
- Capacidade inicial do tanque:
-
O que o enunciado pede:
a) Formular a equação diferencial para a quantidade de cloro no tanque (quantidade em gramas, função do tempo).
b) Determinar a quantidade de cloro em função do tempo.
c) Em que instante o tanque ficará vazio (tempo em segundos).
d) Determinar a concentração de cloro imediatamente antes do tanque esvaziar (em).
Passo 2
Modelagem (explicando passo a passo como montar a equação diferencial).
- Defino
como a quantidade de cloro no tanque, em gramas, no instante (com em segundos). - Defino
como o volume de líquido no tanque no instante , em litros.
Volume: a entrada é
e a saída é
, logo o volume diminui a uma taxa líquida de
. Como começou com
,
Isto vale até o tanque esvaziar (quando
).
Taxas de variação da quantidade
: a regra padrão de misturas diz:
Aqui a água de entrada é pura, então a taxa de entrada de cloro é
. A taxa de saída de cloro é a concentração no tanque multiplicada pela vazão de saída. A concentração no tanque é
(gramas por litro), e a vazão de saída é
. Assim,
Condição inicial: concentração inicial
e volume inicial
implicam
Portanto a equação diferencial com condição inicial fica:
Passo 3
Solução da equação diferencial (resolvendo passo a passo e explicando as operações).
A equação é separável (podemos colocar os termos em
num lado e os termos em
no outro). Reescrevo:
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
. Para o lado direito faço substituição: seja
, então
e
. Assim
Juntando constantes (
geral), obtemos
Exponenciando:
onde
é uma constante positiva. Uso a condição inicial
:
Portanto uma forma conveniente de escrever
é fatorando por
:
Posso também simplificar a fração
, obtendo a forma
(Coloquei o domínio porque a fórmula só faz sentido enquanto
.)
Passo 4
Instante em que o tanque fica vazio.
O tanque esvazia quando
, ou seja
Numericamente isso é
.
Passo 5
Concentração imediatamente antes do tanque esvaziar.
A concentração no tanque em qualquer instante é
Usando a expressão encontrada para
,
Como
, isso fica
Agora calculo o limite quando
(imediatamente antes de esvaziar): o fator
vai para
, e como está elevado a
, o produto vai para
. Logo a concentração imediatamente antes do tanque esvaziar é
Resposta
a)
b)
c)
d)