Questão 3 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
As informações relevantes que temos:
- A equação diferencial é dada por
. - A condição inicial é
. - A equação envolve divisão por
, então devemos lembrar que ; como a condição inicial está em , podemos trabalhar no intervalo onde .]
Passo 2
Vamos colocar a equação em uma forma mais conveniente dividindo por
(válido para
):
Essa manipulação é apenas álgebra: dividimos ambos os lados de
por
.
Passo 3
Agora observe que a expressão do lado esquerdo é exatamente a derivada de
. Para ver isso, aplicamos a regra do quociente:
Portanto podemos reescrever a equação diferencial de forma muito simples.
Passo 4
Usando a identidade do passo anterior, a equação fica
Isto transforma o problema em integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
A integral da derivada recupera a função (até constante) e a integral de
é
. Assim:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolando
, obtemos a solução geral:
Expliquei passo a passo como sair da forma derivada para a solução geral; a presença de
multiplicando
vem da multiplicação por
ao isolar
.
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
:
Calculando
, isso dá
Como
, concluímos que
Passo 8
Com
a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 9
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
e substitua na equação original.
Então
que é exatamente o lado direito da equação original. A condição
também se verifica:
.