Questão 3 - Resolva os seguintes problemas de valor inicial.
\left\{\begin{array}{l}x y^{\prime}-y=x^{2} \operatorname{sen} x \y(\pi)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{array}{l} x\,y^{\prime}-y = x^{2}\sin x,\\[4pt] y(\pi)=0, \end{array}\right.
As informações relevantes que temos:
  • A equação diferencial é dada por x\,y^{\prime}-y = x^{2}\sin x.
  • A condição inicial é y(\pi)=0.
  • A equação envolve divisão por x, então devemos lembrar que x\neq0; como a condição inicial está em x=\pi>0, podemos trabalhar no intervalo onde x>0.]

Passo 2

Vamos colocar a equação em uma forma mais conveniente dividindo por x^{2} (válido para x\neq0):
\frac{x\,y^{\prime}-y}{x^{2}}=\sin x.
Essa manipulação é apenas álgebra: dividimos ambos os lados de x\,y^{\prime}-y = x^{2}\sin x por x^{2}.

Passo 3

Agora observe que a expressão do lado esquerdo é exatamente a derivada de \dfrac{y}{x}. Para ver isso, aplicamos a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{y' \cdot x - y \cdot 1}{x^{2}} = \frac{x\,y' - y}{x^{2}}.
Portanto podemos reescrever a equação diferencial de forma muito simples.

Passo 4

Usando a identidade do passo anterior, a equação fica
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\sin x.
Isto transforma o problema em integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx=\int \sin x\,dx.
A integral da derivada recupera a função (até constante) e a integral de \sin x é -\cos x. Assim:
\frac{y}{x} = -\cos x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(x) = -x\cos x + Cx.
Expliquei passo a passo como sair da forma derivada para a solução geral; a presença de x multiplicando C vem da multiplicação por x ao isolar y.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(\pi)=0. Substituindo x=\pi em y(x):
0 = y(\pi) = -\pi\cos\pi + C\pi.
Calculando \cos\pi = -1, isso dá
0 = -\pi(-1) + C\pi = \pi + C\pi = \pi(1+C).
Como \pi\neq0, concluímos que
C = -1.

Passo 8

Com C=-1 a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -x\cos x - x = -x\bigl(\cos x + 1\bigr).

Passo 9

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule y' e substitua na equação original.
y(x) = -x\cos x - x \quad\Rightarrow\quad y'(x) = -\cos x + x\sin x - 1 = x\sin x - (\cos x + 1).
Então
x\,y' - y = x\bigl(x\sin x - (\cos x + 1)\bigr) - \bigl(-x(\cos x + 1)\bigr) = x^{2}\sin x,
que é exatamente o lado direito da equação original. A condição y(\pi)=0 também se verifica: y(\pi)=-\pi(\cos\pi+1)=-\pi(-1+1)=0.

Resposta

y(x)=-x\bigl(\cos x+1\bigr)

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