Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{aligned} 3 x+2 y-z & =4 \\\ x-2 y+2 z & =1 \\\\ 11 x+2 y+z & =14\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x + 2y - z = 4,\\\ x - 2y + 2z = 1,\\\\ 11x + 2y + z = 14 \end{cases}
e pede: (i) a forma escada da matriz ampliada, (ii) o posto da matriz de coeficientes, (iii) o posto da matriz ampliada e (iv) o grau de liberdade se houver solução. O conteúdo é eliminação de Gauss e conceito de posto.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e escolhemos a primeira linha de pivô como a segunda equação (mais simples):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 3 & 2 & -1 & 4\\\\ 11 & 2 & 1 & 14 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos o x das linhas 2 e 3 usando R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1 e R_3 \leftarrow R_3 -11R_1. Isso dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & 8 & -7 & 1\\\\ 0 & 24 & -21 & 3 \end{array}\right]

Passo 4

Agora pivoteamos na linha 2 e eliminamos o y da linha 3 com R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & 8 & -7 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Esta é a forma escada (echelon form) da matriz ampliada.

Passo 5

Da forma escada vemos duas linhas não nulas na parte dos coeficientes. Logo:
– posto da matriz de coeficientes =2,
– posto da matriz ampliada =2.
Como os postos são iguais o sistema é compatível. Há 3 incógnitas e posto 2, logo o grau de liberdade é
3 - 2 = 1.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & 8 & -7 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
O posto da matriz de coeficientes é 2, o posto da matriz ampliada é 2 e o grau de liberdade é 1.

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