Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{c}x+2 y=0 \\\\ 2 x+3 y=0 \\\\ 3 x-2 y=0\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo, temos um sistema linear homogêneo de três equações e duas variáveis:
\begin{cases} x + 2y = 0,\\\\ 2x + 3y = 0,\\\\ 3x - 2y = 0.
O que faremos:
  1. Montar a matriz ampliada e aplicar eliminação de Gauss para obter a forma escada.
  2. Deste escalonamento, identificar o posto da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada [A\mid b].
  3. Como é homogêneo, sempre existe a solução trivial; daí calculamos o grau de liberdade n - \rank(A).

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada inicial e eliminamos os elementos abaixo do pivô em coluna 1 :
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right) \;\xrightarrow{\substack{R_2\to R_2-2R_1\R_3\to R_3-3R_1}}\; \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & -8 & 0 \end{array}\right).

Passo 3

Agora eliminamos o elemento abaixo do pivô em coluna 2:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & -8 & 0 \end{array}\right) \;\xrightarrow{R_3\to R_3-8R_2}\; \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Esta é a forma escada da matriz ampliada.

Passo 4

Podemos ressaltar os pivôs escalonando o segundo pivô para 1, mas não é obrigatório para a forma escada. Aqui vemos claramente dois pivôs em colunas 1 e 2.

Passo 5

Da forma escada concluímos:
\rank(A)=2, \qquad \rank([A\mid b])=2,
pois há exatamente duas linhas não nulas.

Passo 6

O sistema tem n=2 variáveis e posto \rank(A)=2, logo o grau de liberdade é
n - \rank(A) = 2 - 2 = 0.
Como é homogêneo, a única solução é a trivial
\;x=0,\;y=0.

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Posto da matriz de coeficientes: \rank(A)=2
Posto da matriz ampliada: \rank([A\mid b])=2
Grau de liberdade: 0
Solução: x=0,\;y=0

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