Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
Informações importantes dadas:
e
são funções desconhecidas de
.
São duas equações diferenciais lineares de primeira ordem, acopladas entre si.
Não foram dadas condições iniciais; a resposta deve ser a solução geral com constantes arbitrárias.
São duas equações diferenciais lineares de primeira ordem, acopladas entre si.
Não foram dadas condições iniciais; a resposta deve ser a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Vamos reorganizar o sistema numa forma matricial (isso deixa as coisas mais limpas):
Assim o sistema é
Isso significa que procuramos vetores solução
cuja derivada é obtida multiplicando por
.]
Passo 3
Um método padrão (e muito eficiente) para sistemas lineares constantes é procurar soluções da forma
onde
é um vetor constante (não nulo) e
é um número (escala). Vou explicar por quê: ao substituir essa forma em
obtemos
e, como
nunca é zero, sobra a condição
Isto é a equação de autovalores/autovetores:
deve ser um autovalor de
e
o respetivo autovetor.
Passo 4
Para encontrar os autovalores
calculamos o polinômio característico de
:
Calculemos
:
A determinante é
Expandindo:
Logo o polinômio característico é
Passo 5
Resolvendo
por fórmula quadrática ou fatoração:
Portanto os autovalores são
Passo 6
Agora achamos um autovetor para
. Devemos resolver
Calculemos
:
A equação
com
dá o sistema
As duas equações são múltiplas, basta usar a primeira:
. Podemos escolher
para obter um autovetor simples:
Passo 7
Agora o autovetor para
. Resolvemos
pois
. Calculemos:
A equação
dá
De novo a segunda é múltipla da primeira. Da primeira obtemos
. Escolhendo
fica
Passo 8
Verifiquemos que
e
são linearmente independentes: um não é múltiplo do outro (pois
não é múltiplo de
). Quando temos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, então as soluções
são soluções independentes do sistema, e a solução geral é a combinação linear dessas soluções.
Passo 9
Resumo do que encontramos (sem as constantes finais): temos as duas soluções fundamentais
A solução geral será uma combinação linear dessas duas soluções com constantes arbitrárias.]