Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais:
onde
e
são funções de tempo
.
Queremos determinar explicitamente e
que satisfaçam ambas as equações.]
Queremos determinar explicitamente
Passo 2
Vamos transformar o sistema num problema mais simples: uma única equação de ordem superior para
. Para isso, diferencio a primeira equação em relação a
. Diferenciando
obtemos
Agora uso a segunda equação do sistema, que diz que
. Substituindo obtém-se uma equação só para
:
Explicação didática: isso é uma técnica padrão — eliminar uma das incógnitas (aqui
) produz uma equação de ordem maior (aqui de segunda ordem) apenas em
. É permitido porque as derivadas existem e as equações relacionam
e
.
Passo 3
Escrevo a equação obtida numa forma padrão:
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica para resolver esse tipo é procurar soluções da forma
, onde
é um número (constante) a determinar. Substituindo
em
obtemos a equação característica
Resolvo a característica:
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação de segunda ordem é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinaríamos a partir de condições iniciais, se houvesse).
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes, cada raiz
da equação característica gera uma solução
. Para duas raízes distintas
a solução geral é
.
Passo 4
Agora recupero
a partir de
usando a primeira equação do sistema, que diz
. Faço a derivada de
passo a passo:
Aqui usei a regra básica de derivação de exponenciais:
e
. Portanto
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança): calculo
a partir da expressão encontrada e confirmo que é igual a
.
o que coincide com a segunda equação do sistema. Assim a solução encontrada satisfaz ambas as equações.