Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=y_{2} \y_{2}^{\prime}=y_{1}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais:
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=y_{2},\\[4pt] y_{2}^{\prime}=y_{1}, \end{array}\right.
onde y_{1}=y_{1}(t) e y_{2}=y_{2}(t) são funções de tempo t.
Queremos determinar explicitamente y_{1}(t) e y_{2}(t) que satisfaçam ambas as equações.]

Passo 2

Vamos transformar o sistema num problema mais simples: uma única equação de ordem superior para y_{1}. Para isso, diferencio a primeira equação em relação a t. Diferenciando \\ y_{1}^{\prime}=y_{2} obtemos
y_{1}^{\prime\prime}=y_{2}^{\prime}.
Agora uso a segunda equação do sistema, que diz que y_{2}^{\prime}=y_{1}. Substituindo obtém-se uma equação só para y_{1}:
y_{1}^{\prime\prime}=y_{1}.
Explicação didática: isso é uma técnica padrão — eliminar uma das incógnitas (aqui y_{2}) produz uma equação de ordem maior (aqui de segunda ordem) apenas em y_{1}. É permitido porque as derivadas existem e as equações relacionam y_1 e y_2.

Passo 3

Escrevo a equação obtida numa forma padrão:
y_{1}^{\prime\prime}-y_{1}=0.
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica para resolver esse tipo é procurar soluções da forma \,y_{1}(t)=e^{rt}\,, onde r é um número (constante) a determinar. Substituindo y_{1}=e^{rt} em \,y_{1}^{\prime\prime}-y_{1}=0\, obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
Resolvo a característica: r^{2}-1=0\Rightarrow r=\pm 1. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da equação de segunda ordem é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{1}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinaríamos a partir de condições iniciais, se houvesse).
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes, cada raiz r da equação característica gera uma solução e^{rt}. Para duas raízes distintas r_{1},r_{2} a solução geral é C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}.

Passo 4

Agora recupero y_{2}(t) a partir de y_{1}(t) usando a primeira equação do sistema, que diz \,y_{2}=y_{1}^{\prime}. Faço a derivada de y_{1}(t) passo a passo:
y_{1}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y_{1}^{\prime}(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}.
Aqui usei a regra básica de derivação de exponenciais: \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t} e \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}. Portanto
y_{2}(t)=y_{1}^{\prime}(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança): calculo y_{2}^{\prime}(t) a partir da expressão encontrada e confirmo que é igual a y_{1}(t).
y_{2}^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\big(C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}\big)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}=y_{1}(t),
o que coincide com a segunda equação do sistema. Assim a solução encontrada satisfaz ambas as equações.

Resposta

y_{1}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}
y_{2}(t)=C_{1}e^{t}-C_{2}e^{-t}

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