Questão 1. Resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações diferenciais acopladas e pede a solução geral das funções
Pergunta: encontrar a solução geral (\big(y_{1}(t),y_{2}(t)\big)] (com constantes arbitrárias) que satisfaça o sistema.]
Passo 2
Vamos escolher um método prático: desacoplar o sistema transformando-o numa única equação de ordem maior para uma das incógnitas (aqui vou obter uma equação para
). Isso é feito diferenciando a primeira equação e usando a segunda para eliminar
. Explico cada passo com calma para você poder repetir na prova.
Passo 3
Diferencio a primeira equação em relação a
. A derivada de
é
. Assim,
Agora uso a segunda equação do sistema, que me diz que
. Substituindo:
Portanto
satisfaz a equação diferencial de segunda ordem
Passo 4
Agora resolvemos a equação homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Método: suponha soluções da forma exponencial
. Substituindo na equação obtemos a equação característica para
:
Resolvo a característica:
. Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam condições iniciais, se houvessem).
Passo 5
Agora encontro
usando a relação original entre
e
. A primeira equação dá
Calculo
a partir da expressão encontrada:
Dividindo por
,
Pronto: temos
e
em função de
e das constantes
.
Passo 6
Para reforçar o entendimento, mostro rapidamente outra abordagem equivalente (muito útil em provas): escrever o sistema na forma matricial
com
Procuramos autovalores
e autovetores
de
. A equação característica é
logo
. Para
um autovetor é
. Para
um autovetor é
. A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais
que dá, em componentes,
Você vê que é a mesma forma que obtivemos antes (basta identificar
,
).]
Passo 7
Verificação rápida (importante na prova): calcule
e
com as soluções encontradas e confira que são iguais; faça o mesmo para
e
. Isso garante que a solução satisfaz o sistema original.