Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}4 & -5 \\\\ 5 & -4\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes
\mathbf X' = A\,\mathbf X,
onde
A=\begin{pmatrix}4 & -5\\[6pt]5 & -4\end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é a teoria de autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.]

Passo 2

Formamos o polinômio característico de A e igualamos a zero:
\det\bigl(A-\lambda I\bigr) =\begin{vmatrix}4-\lambda & -5\\[4pt]5 & -4-\lambda\end{vmatrix} =(4-\lambda)(-4-\lambda)+25 =\lambda^2+9.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^2+9=0 obtemos
\lambda = \pm 3\,i.

Passo 4

Para \lambda=3i, achamos um autovetor \mathbf v tal que (A-3iI)\mathbf v=0. Da primeira linha
(4-3i)v_1-5v_2=0 \quad\Longrightarrow\quad v_2=\frac{4-3i}{5}\,v_1.
Escolhendo v_1=1, temos
\mathbf v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{4-3i}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução complexa é \mathbf X_c(t)=e^{3i t}\mathbf v. As duas soluções reais independentes vêm de \Re(\mathbf X_c) e \Im(\mathbf X_c):
\Re\bigl(e^{3i t}\mathbf v\bigr) =\begin{pmatrix} \cos(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\cos(3t)+\tfrac{3}{5}\sin(3t) \end{pmatrix}, \quad \Im\bigl(e^{3i t}\mathbf v\bigr) =\begin{pmatrix} \sin(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\sin(3t)-\tfrac{3}{5}\cos(3t) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Portanto, a solução geral é combinação linear dessas duas soluções reais:
\mathbf X(t) = C_1 \begin{pmatrix} \cos(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\cos(3t)+\tfrac{3}{5}\sin(3t) \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} \sin(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\sin(3t)-\tfrac{3}{5}\cos(3t) \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

\boxed{ \mathbf X(t) = C_1 \begin{pmatrix} \cos(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\cos(3t)+\tfrac{3}{5}\sin(3t) \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} \sin(3t)\\[6pt] \tfrac{4}{5}\sin(3t)-\tfrac{3}{5}\cos(3t) \end{pmatrix}. }]

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