Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por:
P(t)=280-190 \cdot e^{-0,019 \cdot(t-1970)}
Baseado nesse modelo a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização aproximadamente no ano de:
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo de crescimento populacional
P(t)=280 - 190\,e^{-0{,}019\,(t-1970)}
em que P(t) é a população em milhões no ano t. Queremos saber em que ano t teremos P(t) igual a 90 % da população de estabilização, ou seja, 0{,}9 \times 280 = 252 milhões.

Passo 2

Para encontrar t tal que P(t)=252, igualamos e isolamos a parte exponencial:
252 = 280 - 190\,e^{-0{,}019\,(t-1970)}
190\,e^{-0{,}019\,(t-1970)} = 280 - 252 = 28
e^{-0{,}019\,(t-1970)} = \frac{28}{190}

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural para resolver a equação:
-0{,}019\,(t-1970) = \ln\!\bigl(\tfrac{28}{190}\bigr)
t - 1970 = -\frac{1}{0{,}019}\,\ln\!\bigl(\tfrac{28}{190}\bigr)
Calculando numericamente:
\ln\!\bigl(\tfrac{28}{190}\bigr)\approx -1{,}9148 \quad\Longrightarrow\quad t - 1970 \approx -\frac{-1{,}9148}{0{,}019} \approx 100{,}78
t \approx 1970 + 100{,}78 = 2070{,}78

Resposta

A população brasileira será 90 % da estabilização aproximadamente no ano de 2071.

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