Questão 49
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Considere as afirmações a seguir:
Escolha uma ou mais:
A matriz \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\\ \frac{\operatorname{tg} \theta}{\operatorname{sec} \theta} & 1-2 \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{array}\right) é inversível, \forall \theta \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}.
Se M é uma matriz quadrada de ordem n>1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que M N é matriz nula.
Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que \operatorname{det}\left(M^{2}-M\right)=0, então existe matriz não nula X, de ordem n \times 1, tal que M X=X.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes: 1. A matriz
é inversível para todo \theta\neq\frac\pi2+k\pi. 2. Se M é quadrada de ordem n>1, não nula e não inversível, existe N\neq0 tal que MN=0. 3. Se M é quadrada inversível de ordem n e \det(M^2-M)=0, então existe vetor não nulo X com MX=X.
O conteúdo envolve determinante, matrizes singulares e eigenvalores; vamos checar cada afirmação.
para todo \theta. Logo a afirmação 1 é verdadeira.]
Passo 3
Se M é singular (não inversível) de ordem n>1, então \ker M tem dimensão \ge1. Assim existe vetor x\neq0 com Mx=0. Basta escolher N cuja primeira coluna seja x (e as demais colunas quaisquer), obtendo MN=0 com N\neq0. Logo a afirmação 2 é verdadeira.