Questão 49
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
1P Marcar questão
Considere as afirmações a seguir:
Escolha uma ou mais:
A matriz \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\operatorname{sen} \theta \\\ \frac{\operatorname{tg} \theta}{\operatorname{sec} \theta} & 1-2 \operatorname{sen}^{2}\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{array}\right) é inversível, \forall \theta \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}.
Se M é uma matriz quadrada de ordem n>1, não nula e não inversível, então existe matriz não nula N, de mesma ordem, tal que M N é matriz nula.
Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que \operatorname{det}\left(M^{2}-M\right)=0, então existe matriz não nula X, de ordem n \times 1, tal que M X=X.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre matrizes:
1. A matriz
A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\\ \dfrac{\operatorname{tg}\theta}{\operatorname{sec}\theta} & 1-2\operatorname{sen}^2\bigl(\tfrac\theta2\bigr) \end{pmatrix}
é inversível para todo \theta\neq\frac\pi2+k\pi.
2. Se M é quadrada de ordem n>1, não nula e não inversível, existe N\neq0 tal que MN=0.
3. Se M é quadrada inversível de ordem n e \det(M^2-M)=0, então existe vetor não nulo X com MX=X.
O conteúdo envolve determinante, matrizes singulares e eigenvalores; vamos checar cada afirmação.

Passo 2

Analisando A, note que
\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta} =\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{1}{\cos\theta}} =\sin\theta,
e usando a identidade 1-2\sin^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)=\cos\theta, tem-se
A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[6pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
que é a matriz de rotação R(\theta). Seu determinante é
\det A=\cos\theta\cdot\cos\theta - (-\sin\theta)\cdot\sin\theta =\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \neq 0
para todo \theta. Logo a afirmação 1 é verdadeira.]

Passo 3

Se M é singular (não inversível) de ordem n>1, então \ker M tem dimensão \ge1. Assim existe vetor x\neq0 com Mx=0. Basta escolher N cuja primeira coluna seja x (e as demais colunas quaisquer), obtendo MN=0 com N\neq0. Logo a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Se M é inversível e \det(M^2-M)=0, então
\det\bigl(M(M-I)\bigr)=\det M\cdot\det(M-I)=0\implies\det(M-I)=0,
pois \det M\neq0. Assim 1 é valor próprio de M, ou seja, existe X\neq0 com (M-I)X=0, isto é, MX=X. A afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que todas as três afirmações são verdadeiras.

Resposta

As três afirmações são verdadeiras.

Exercícios relacionados